二項分布の正規近似

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $X$ は二項分布 $B\left(400,\frac{1}{2}\right)$。$P(X\geqq 215)$ を厳密に計算するなら $186$ 項の足し算 — 現実的でない。

そこで近似の出番。$n$ が大きい二項分布は、同じ平均・分散をもつ正規分布 $N(np,npq)$ でほぼ置き換えられる。

平均 $np=200$、分散 $npq=100$、標準偏差 $10$。あとは正規分布の問題として標準化し、表を引くだけだ。「離散の山を、なめらかな釣鐘で置き換える」— 二項分布の正規近似である。

① 平均と標準偏差を出す。 $X\sim B\left(400,\frac{1}{2}\right)$。

$$np=400\times \frac{1}{2}=200,\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{400\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}=\sqrt{100}=10$$

よって $X$ はおよそ $N(200,10^2)$ に従う。

② 標準化する。 $X=215$ を標準化。

$$Z=\frac{215-200}{10}=1.5$$

③ 確率を求める。 $P(X\geqq 215)=P(Z\geqq 1.5)$。これは右のすそ野の面積で、$0.5$ から $P(0\leqq Z\leqq 1.5)$ を引く。

$$P(Z\geqq 1.5)=0.5-0.4332=0.0668$$

まとめ:回数の多い二項分布は、$N(np,npq)$ に化ける(正規近似)。平均 $np$・標準偏差 $\sqrt{npq}$ を出して標準化すれば、正規分布の確率として計算できる。$P(Z\geqq z)=0.5-(\text{表の値})$ の形も要注意。

発展 — 一歩先へ。 「二項分布は $n$ が大きいと正規分布に近づく」はド・モアブル=ラプラスの定理と呼ばれ、さらに一般化した中心極限定理(どんな分布でも、独立な和は正規分布に近づく)は統計学全体の背骨だ。身長・測定誤差など「小さな要因の足し合わせ」が正規分布になりやすい理由もここにある。

より精密には、離散の $X\geqq 215$ を連続の $X\geqq 214.5$ と半目盛りずらして近似する「連続性の補正」もある(大学レベル)。高校の答え $0.0668$ に対し補正後は約 $0.0735$ — 近似の精度を上げる工夫まで含めて、この定理は実用の道具になっている。

別解

計算の前に「$215$ 回は多いのか?」を $\sigma$ の物差しで見積もる習慣をつけたい。

$400$ 回投げれば表は平均 $200$ 回。ぶれの単位は $\sigma =\sqrt{npq}=10$ 回だ。

$$215=200+1.5\sigma$$

$215$ 回は「平均より $\sigma$ 1.5 個分多い」— 珍しさで言えば中の上、という位置づけがまず読める。$\pm 2\sigma$($95\%$)にはまだ届かないから、確率は数 % 台のはず、と当たりがつく。

実際、$P(Z\geqq 1.5)=0.5-0.4332=0.0668$ — 見積もりどおり約 $6.7\%$ だ。

この「まず $\sigma$ で測る」感覚は、答えの検算になるだけではない。もし問題が「$230$ 回以上」($+3\sigma$)なら $0.1\%$ 台 — 「この硬貨は歪んでいるのでは?」と疑い始める水準で、それはまさに後で学ぶ仮説検定の考え方の入り口である。