分散の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分散の計算は、定義どおり $(x-\mu {)}^2$ を集めるより、計算式

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$$

が速いことが多い。$\mu =\frac{7}{3}$ のような分数だと、$(x-\mu {)}^2$ の計算が毎回分数になるからだ。

$E(X^2)$ は「値の $2$ 乗 $\times$ 確率」の和。$E(X)=\frac{7}{3}$ はもう手元にあるから、あとは $2$ 乗して引くだけ。「$2$ 乗の平均 $-$ 平均の $2$ 乗」と唱えて覚える。

① $E(X^2)$ を求める。

$$E(X^2)=1\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{2}{6}+9\cdot \frac{3}{6}=\frac{1+8+27}{6}=\frac{36}{6}=6$$

② 分散を計算する。

$$V(X)=6-(\frac{7}{3}{)}^2=6-\frac{49}{9}=\frac{54-49}{9}=\frac{5}{9}$$

まとめ:分散は $E(X^2)-\{E(X){\}}^2$。$E(X^2)$ は「値の $2$ 乗 × 確率」の和。$6-\frac{49}{9}$ の通分をていねいに($6=\frac{54}{9}$)。

発展 — 一歩先へ。 $2$ つの式が常に一致する理由は、定義式を展開すると分かる。$\sum (x-\mu {)}^{2}p=\sum x^{2}p-2\mu \sum xp+{\mu }^2\sum p=E(X^2)-2{\mu }^2+{\mu }^2$ — 真ん中の項で $\sum xp=\mu$、最後で $\sum p=1$ が効いて、$E(X^2)-{\mu }^2$ に潰れる。データの分析(数I)で学んだ分散の変形と同じ計算だ。

$V(X)\geqq 0$ から、副産物として $E(X^2)\geqq \{E(X){\}}^2$ が常に成り立つことも読める。「$2$ 乗の平均は、平均の $2$ 乗より小さくならない」— 統計と不等式をつなぐ、小さいが深い事実である。

別解

定義式 $V(X)=\sum (x-\mu {)}^{2}p$ でも計算して、突き合わせてみよう。分散の意味($\mu$ からのずれの $2$ 乗の平均)が計算の形のまま見える。

$\mu =\frac{7}{3}$ からの各値のずれは $1-\frac{7}{3}=-\frac{4}{3}$、$2-\frac{7}{3}=-\frac{1}{3}$、$3-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}$。

$$V(X)=\frac{16}{9}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{6}+\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{6}=\frac{16+2+12}{54}=\frac{30}{54}=\frac{5}{9}$$

計算式ルートと一致した。

見どころは重みの効き方だ。いちばん遠い値 $1$(ずれ $-\frac{4}{3}$)は確率が軽く、いちばん重い値 $3$ はずれが小さい — だから分散は $\frac{5}{9}$ とかなり小さい。定義式は手間がかかるぶん、「どの値がどれだけ散らばりに寄与しているか」まで教えてくれる。検算を兼ねて一度は両方で計算しておくと、公式の信頼感が変わる。