確率分布の決定と期待値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 未知の $a$ を決める手がかりは、確率の大原則ただひとつ — 全部足すと $1$。

$$a+2a+3a=6a=1⟹a=\frac{1}{6}$$

分布が確定したら、期待値は「値 $\times$ 確率」の総和。

$$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{2}{6}+3\cdot \frac{3}{6}$$

「まず合計 $1$ で分布を確定、それから $E$」— 分布決定型の手順はいつもこの順である。

① $a$ を決める。 確率の合計が $1$。

$$a+2a+3a=6a=1\Rightarrow a=\frac{1}{6}$$

② 期待値を計算する。 $P(X=1)=\frac{1}{6}$、$P(X=2)=\frac{2}{6}$、$P(X=3)=\frac{3}{6}$。

$$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{2}{6}+3\cdot \frac{3}{6}=\frac{1+4+9}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$$

まとめ:確率分布の未知数は「総和 $=1$」でまず決める。これは確率の絶対のルール。$a$ が決まれば、あとは期待値の公式に入れるだけだ。

発展 — 一歩先へ。 $E(X)=\frac{7}{3}\approx 2.33$ が、真ん中の値 $2$ より大きい点に注目したい。大きい値ほど確率が重い(枚数が多い)分布だから、平均は重い側へ引っ張られる — 期待値は「分布の重心」だ。てんびんに $6$ 枚のカードを乗せたときの釣り合いの位置、と思うと直感に残る。

「$P(X=k)$ が $k$ に比例」する分布は、一般の $1$ から $n$ なら $a=\frac{2}{n(n+1)}$($\Sigma k$ の公式!)で決まる。確率分布の正規化に数列の和が顔を出す — 単元をまたぐ小さな橋である。

別解

確率 $\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{3}{6}$ を、$6$ 枚のカードに置き換えると素朴に見える。

「$1$」のカードを $1$ 枚、「$2$」を $2$ 枚、「$3$」を $3$ 枚 — 計 $6$ 枚から $1$ 枚引くくじだと思えば、この分布と完全に同じだ。

期待値は $6$ 枚の値のただの平均になる。

$$E(X)=\frac{1+2+2+3+3+3}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$$

「値 $\times$ 確率の和」という公式は、「枚数分だけ書き並べて平均をとる」ことの縮記法にすぎない — 分子の $1+2\cdot 2+3\cdot 3$ は、カードを種類ごとにまとめて数えた姿だ。

期待値の計算で手が止まったら、確率を枚数に戻して平均をとる。この翻訳はどの分布でも使える。