仮説検定(コインの公正さ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 仮説検定は「もし公正なら、この結果はどれくらい珍しいか」を測る。

まず仮説(公正 $p=\frac{1}{2}$)を正しいと仮定した世界での分布を作る。$X\sim B(100,\frac{1}{2})$ を正規近似すると $E(X)=50$、$\sigma =5$。

観測値 $60$ を標準化して $Z=\frac{60-50}{5}=2$。両側 $5\%$ の棄却域 $|Z|>1.96$ に入るかどうかで、仮説を捨てるか判定する。

① 仮説のもとでの分布。 公正($p=\frac{1}{2}$)なら $X\sim B(100,\frac{1}{2})$、$E(X)=50$、$\sigma =\sqrt{100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5$。

② 標準化。 観測値 $X=60$ を標準化して $$Z=\frac{60-50}{5}=2.$$ ③ 判定。 両側 $5\%$ の棄却域は $|Z|>1.96$。$Z=2>1.96$ なので棄却域に入る。よって仮説「公正である」は棄却され、このコインは公正とはいえない。

まとめ 公正なら $E(X)=50,\sigma =5$、$Z=2$。棄却域 $|Z|>1.96$ に入るので仮説を棄却(公正とはいえない)。仮説検定(正規近似)と標準化・棄却域の融合。

発展 — 一歩先へ。 この検定の $p$ 値(仮説のもとで観測以上に極端な結果が出る確率)は約 $2\times 0.0228=0.046$ で、$0.05$ をわずかに下回る。つまり「ぎりぎり棄却」だ。有意水準を $1\%$ にすれば棄却されない。境界近くの結果は、水準の取り方しだいで結論が変わる — だから $p$ 値そのものを報告する習慣が重視される。

別解

別解 — 「棄却域」を回数のことばで描く(苦手な人向け)。 標準化した $Z$ で判定する代わりに、「表が何回なら公正を疑うか」を回数のまま出す。

公正なら $X\sim B(100,\frac{1}{2})$ で平均 $50$、$\sigma =5$。両側 $5\%$ の“ありふれた範囲”は、平均から $\pm 1.96\sigma$ の内側:

$$50-1.96\times 5=40.2\text{から}50+1.96\times 5=\mathrm{59.8.}$$

つまり表が $41$ 回〜$59$ 回なら「公正でもよくあること」、$40$ 回以下または $60$ 回以上なら「珍しすぎる=公正を疑う」(棄却域)。

観測された $60$ 回はちょうど棄却域 $X\ge 60$ に入る。だから有意水準 $5\%$ で「公正」は棄却される。

$Z$ の計算(本解)と同じ結論だが、「$60$ 回以上は珍しい」と回数で言われる方が、検定が何をしているか直感的に分かる。ちなみに珍しさ($p$ 値)は約 $2\times 0.0228=0.046<0.05$ で、ぎりぎり棄却される水準だ。