数学B / 統計的な推測

二項分布の確率

★★★★ 難関二項分布確率

問題

$1$ 個のさいころを $4$ 回投げるとき、 $1$ の目が出る回数を $X$ とする。 $X$ は二項分布 $B (4, \frac{1}{3})$ に従う。 $P (X = 2)$ と $P (X \geq 3)$ を求めよ。

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$P (X = k) =_{4} C_{k} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{4 - k}$ 。 $P (X \geq 3)$ は $X = 3$ と $X = 4$ の確率の和。

解答・解説

方針

二項分布の確率は $P (X = k) =_{4} C_{k} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{4 - k}$ 。 $P (X \geq 3) = P (X = 3) + P (X = 4)$ を計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 反復試行の確率は、二項分布の公式 $_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$ にそのまま当てはめる。

$P (X = 2)$ は、この公式を $k = 2$ で計算するだけ。

$P (X \geq 3)$ は「 $3$ 回以上」だから、 $X = 3$ と $X = 4$ の確率を足す。

$p = \frac{1}{3}$ 、 $1 - p = \frac{2}{3}$ を、それぞれ正しい回数だけ累乗するのが要。

公式二項分布

B (n, p)

P (X = k) =_{n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

① $P (X = 2)$ 。

$P (X = 2) =_{4} C_{2} (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{2} = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

② $P (X \geq 3)$ 。 $X = 3$ と $X = 4$ の和。

$P (X = 3) =_{4} C_{3} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3}) = 4 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{81}$ $P (X = 4) =_{4} C_{4} (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{81}$ $P (X \geq 3) = \frac{8}{81} + \frac{1}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$

B(4,1/3) の分布。P(X=2)=8/27

まとめ:二項分布の確率は公式に代入するだけ。 $P (X \geq 3)$ のような「以上」は、該当する $k$ ( $3, 4$ )の確率をすべて足す。 $(\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{4 - k}$ の指数を取り違えないのが要。

発展 — 一歩先へ。 この分布は期待値 $n p = \frac{4}{3}$ 、いちばん出やすい回数(最頻値)は $1$ 回。 $p = \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ だから、山は左に寄って右にすそを引く。

分布全体を分母 $81$ でそろえると $\frac{16 , 32 , 24 , 8 , 1}{81}$ 。分子の和が $81$ で、確率の総和が $1$ になることが一目で確かめられる。

この分子 $16, 32, 24, 8, 1$ は $(2 + 1)^{4} = 81$ を二項展開したときの各項に対応する。二項分布の名の由来がここにある。総和が $1$ かどうかは、確率計算の最良の検算になる。

答

$P (X = 2) = \frac{8}{27}$ 、 $P (X \geq 3) = \frac{1}{9}$

別解

別解 — 分布を全部書き出して読む(苦手な人向けの整理ルート)。 どの確率を足すか迷うなら、 $X = 0$ から $4$ まで全部そろえてしまう。分母を $81 = 3^{4}$ でそろえると見やすい。

$P (0) = \frac{16}{81}, P (1) = \frac{32}{81}, P (2) = \frac{24}{81}, P (3) = \frac{8}{81}, P (4) = \frac{1}{81} .$

分子の和は $16 + 32 + 24 + 8 + 1 = 81$ 。総和がちょうど $1$ で、書き間違いがないと確かめられる。

ここから $P (X = 2) = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$ 。 $P (X \geq 3) = \frac{8 + 1}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$ 。

必要な確率だけ計算する本解と同じ。全部そろえると計算量は増えるが、「足し忘れ」「余事象の取り違え」が起きない。分母をそろえて分子だけ足すのがミスを防ぐコツ。

ポイント

$P (X = 2) =_{4} C_{2} (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{2} = \frac{8}{27}$ 。
$P (X \geq 3) = P (3) + P (4) = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$ 。

よくある間違い

$(\frac{1}{3})^{k}$ と $(\frac{2}{3})^{4 - k}$ の指数を逆にする。
$P (X \geq 3)$ を $P (X = 3)$ だけにして、 $X = 4$ を足し忘れる。
$_{4} C_{2} = 6$ を $4$ や $12$ と誤り、係数を取り違える。