数学B / 統計的な推測

1次式の分散

★ 基礎分散変換

問題

$V (X) = \frac{3}{4}$ のとき、 $V (2 X + 3)$ を求めよ。

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散らばりを表す分散は、全体をずらす操作( $+ 3$ )と拡大する操作( $2$ 倍)で受ける影響が違う。それぞれどう効くのだったか。

解答・解説

方針

分散は「 $+ b$ (平行移動)では変わらず、 $\times a$ では $a^{2}$ 倍になる」。 $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ 。定数 $3$ を足してもバラつきは変わらない点に注意。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 期待値は $1$ 次式を素通りした。分散は、そうはいかない。

$2$ つの操作を、分けて考えよう。

まず「 $+ 3$ 」。 全員の点数に $3$ 点足す。散らばりは変わるか。

変わらない。 全員が同じだけ動くので、互いの間隔はそのままだ。

$V (X + 3) = V (X)$

次に「 $\times 2$ 」。 全員の点数を $2$ 倍する。散らばりはどうなるか。

間隔も $2$ 倍に広がる。 つまり標準偏差(ズレの大きさ)が $2$ 倍。

そして分散は、ズレの $2$ 乗だから

$V (2 X) = 2^{2} V (X) = 4 V (X)$

平行移動には反応せず、拡大には $2$ 乗で反応する。 これが分散の性格である。

公式

V (a X + b) = a^{2} V (X)

(定数

b

を足しても分散は変わらない。

\times a

で

a^{2}

倍)

公式に $a = 2$ 、 $V (X) = \frac{3}{4}$ を入れる。 $+ 3$ は分散に効かない。

$V (2 X + 3) = 2^{2} \cdot V (X) = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$

まとめ:分散は「バラつきの大きさ」なので、全体を平行移動( $+ 3$ )しても変わらない。 $2$ 倍に引き伸ばすとバラつきは $2^{2} = 4$ 倍になる。 $a$ ではなく $a^{2}$ 倍がポイント。

発展 — 一歩先へ。 「平行移動で不変、拡大で $a^{2}$ 倍」— この性質は、単位換算の場面で牙をむく。

摂氏と華氏。

$F = 1.8 C + 32$

ある都市の気温(摂氏)の標準偏差が $5$ ℃ だとする。華氏では?

標準偏差は $1.8$ 倍。

$σ_{F} = 1.8 \times 5 = 9 (^{\circ} F)$

分散は $1. 8^{2} = 3.24$ 倍だ。

$V_{F} = 3.24 \times V_{C}$

$+ 32$ は、どちらにも効かない。 全体が $32$ ずれるだけで、散らばりは変わらないからだ。

ここで、 $1$ つの疑問が湧く。

「気温の散らばりが、単位を変えただけで変わるの?」

変わる。 それは「 $10$ cm の散らばり」を mm で測ると「 $100$ mm の散らばり」になるのと同じ、単なる目盛りの読み替えだ。散らばりの"実質"は同じである。

では、単位に依存しない散らばりの指標はないか。

ある。変動係数という。

$C V = \frac{σ}{μ} (標準偏差 \div 平均)$

割り算だから、単位が約分されて消える。

この指標が効く場面。

「体重の標準偏差 $8$ kg」と「身長の標準偏差 $6$ cm」— どちらが散らばっているか? 単位が違うので、直接は比べられない。

変動係数なら比べられる。

$\frac{8}{60} \approx 0.13 \frac{6}{170} \approx 0.035$

体重のほうが、相対的にずっと散らばっている。

「 $+ b$ で不変、 $\times a$ で $a$ 倍」という標準偏差の性質があるからこそ、 $σ \div μ$ で単位が消える。

性質を知ることは、道具を作れるようになることだ。

答

$3$

別解

定義から導いて、「なぜ $a^{2}$ なのか」を目で見る。

$Y = 2 X + 3$ とおく。 まず期待値は

$E (Y) = 2 E (X) + 3 = 2 μ + 3 (μ = E (X))$

分散の定義は「平均からのズレの $2$ 乗の平均」だった。

$V (Y) = E [(Y - E (Y))^{2}]$

中身のズレを計算する。

$Y - E (Y) = (2 X + 3) - (2 μ + 3) = 2 X - 2 μ = 2 (X - μ)$

$+ 3$ が、きれいに消えた!

ここがすべてだ。 平均も一緒に $3$ ずれるので、ズレを測ると $+ 3$ は打ち消される。

$V (Y) = E [{2 (X - μ)}^{2}] = E [4 (X - μ)^{2}] = 4 E [(X - μ)^{2}] = 4 V (X)$

$V (2 X + 3) = 4 \times \frac{3}{4} = 3$

本解と同じ答え ✓

この導出が語ること。

$+ b$ が消えるのは、平均も同じだけ動くから。 「ズレ」を見る限り、平行移動は無関係
$\times a$ が $a^{2}$ 倍になるのは、 $2$ 乗の中で $a$ が $2$ 回かかるから

数直線で見ると、もっとはっきりする。

もとの値 $0, 1, 2, 3$ は、平均 $1.5$ のまわりに散らばっていた。

$2$ 倍すると $0, 2, 4, 6$ — 間隔がすべて $2$ 倍。 平均 $3$ からの距離も $2$ 倍。

$+ 3$ すると $3, 5, 7, 9$ — 全体が右へ $3$ 移動。距離は変わらない。

$σ (2 X + 3) = 2 σ (X) = 2 \times \frac{3}{2} = 3$

標準偏差は $2$ 倍(素直)、分散は $4$ 倍( $2$ 乗)。

単位を意識すると、納得できる。

身長を cm から mm に直す( $10$ 倍)と、標準偏差も $10$ 倍になる(単位が同じだから当然)。だが分散の単位は cm $^{2}$ なので、 $1 0^{2} = 100$ 倍になる。

「分散は $2$ 乗の世界の量」 — この一言を覚えておけば、 $a^{2}$ を忘れない。

ポイント

$V (a X + b) = a^{2} V (X)$ 。
$+ b$ は分散に影響しない、 $\times a$ で $a^{2}$ 倍。

よくある間違い

$V (2 X + 3) = 2 V (X) + 3$ と、期待値と同じ感覚で計算する。分散は $1$ 次式を素通りしない
$a$ を $2$ 乗し忘れて $V (2 X + 3) = 2 V (X)$ とする。ズレを $2$ 乗する定義から、係数も $2$ 乗される
$+ 3$ が分散を増やすと考える。全員が同じだけ動いても、互いの間隔(散らばり)は $1$ ミリも変わらない