期待値・分散の線形性

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2X+3Y$ の平均と分散 — $2$ つの規則を組み合わせるだけだ。

期待値は線形。係数も足し算もそのまま通る。

$$E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y)=2\cdot \frac{3}{2}+3\cdot 2=9$$

分散は、独立のもとで足せるが、係数は $2$ 乗になる。

$$V(2X+3Y)=2^{2}V(X)+3^{2}V(Y)=4\cdot 4+9\cdot 9=97$$

「$E$ は素直、$V$ は $2$ 乗と独立性」— この非対称を体に入れるのがこの問題の目的である。

① 期待値。 線形にそのまま通す。

$$E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y)=2\cdot \frac{3}{2}+3\cdot 2=3+6=9$$

② 分散。 独立なので分散を足せる。係数は $2$ 乗。

$$V(2X+3Y)=2^{2}V(X)+3^{2}V(Y)=4\times 4+9\times 9=16+81=97$$

まとめ:期待値は係数そのまま($2,3$)、分散は係数の $2$ 乗($4,9$)で足す(独立が前提)。$E$ と $V$ で係数の扱いがちがう($a$ と $a^2$)ことを、いつも意識する。

発展 — 一歩先へ。 期待値の線形性 $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ は、実は独立でなくても常に成り立つ。独立性が要るのは分散の加法だけ — この非対称は使い分けの急所で、複雑な確率の問題(絡み合った変数の期待値)ほど「期待値なら独立性不要」が救いになる。

$2X+3Y$ のような重み付き和は、ポートフォリオ(資産配分)の収益とリスクの計算そのもの。期待収益は線形に、リスク(分散)は $2$ 乗の重みで効く — 金融工学の第一歩が、この公式のペアである。

別解

「どっちが $2$ 乗だったか」を試験場で思い出す道具として、単位(次元)で確かめる方法を知っておくと強い。

$X$ の単位を cm だとしよう。期待値 $E(X)$ も cm — 値と同じ単位だ。だから $2X$ の平均は素直に $2$ 倍。

一方、分散は「ずれの $2$ 乗の平均」だから単位は cm${}^2$ — 面積の単位を持つ。長さを $2$ 倍にすれば面積は $4$ 倍。$V(2X)=2^{2}V(X)$ の「$2$ 乗」は、単位が $2$ 乗の量であることの当然の帰結だ。

$$V(2X+3Y)=4V(X)+9V(Y)=16+81=97({\text{cm}}^2\text{の世界の足し算})$$

標準偏差 $\sigma =\sqrt{97}$ で cm の世界に戻る。

「$E$ と $\sigma$ は cm、$V$ は cm${}^2$」— この次元感覚があれば、$V(aX)=aV(X)$ のような式は単位が合わない時点で即座に棄却できる。公式の暗記に、物理のような検算装置がひとつ加わる。