母比率の推定と必要な標本数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 誤差は $1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。ところが肝心の標本比率 $\hat{p}$ がまだ分からない。

そこで「どんな $\hat{p}$ でも成り立つ」ように、いちばん誤差が大きくなる場合で押さえる。

$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ で最大の $\frac{1}{4}$。この最悪値で評価する。

「未知の $\hat{p}$ を最悪評価で押さえる」。これが必要標本数の発想の核だ。

① 誤差の最大を考える。 誤差 $=1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ のとき最大で $\frac{1}{4}$。標本比率がどんな値でも成り立たせるには、この最大の場合で押さえる。

$$\text{誤差}\leqq 1.96\sqrt{\frac{1/4}{n}}=1.96\cdot \frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{0.98}{\sqrt{n}}$$

② 不等式を解く。 これが $0.05$ 以下。

$$\frac{0.98}{\sqrt{n}}\leqq 0.05\Rightarrow \sqrt{n}\geqq \frac{0.98}{0.05}=19.6$$

③ $n$ について解く。 $2$ 乗する。

$$n\geqq 19.6^2=384.16$$

④ 最小の自然数を選ぶ。

$$n=385$$

まとめ:母比率の必要標本数は「$\hat{p}(1-\hat{p})$ の最大 $\frac{1}{4}$ で最悪評価」がカギ。標本比率が事前に分からないので、いちばん誤差が大きくなる $\hat{p}=0.5$ で見積もる。$384.16$ を超える最小の整数 $385$。

発展 — 一歩先へ。 この見積もりは、母集団が標本よりずっと大きい(あるいは元に戻しながら抽出する)ことを暗に仮定している。

母集団の大きさ $N$ が標本 $n$ とくらべてそれほど大きくないときは、$\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}$ という補正係数を掛けると誤差はさらに小さくなる。この係数は $N$ が大きいほど $1$ に近づく。

たとえば $N=1000$、$n=385$ なら係数は約 $0.78$。そのぶん実際の誤差は見積もりより小さく、必要な標本も少なくてすむ。

全国規模の調査で母集団が巨大なときは、この補正はほぼ効かない。だから「$1$ 億人の国でも $1000$ 人前後」で足りる、という話につながる。

別解

別解 — $\hat{p}(1-\hat{p})$ の最大を平方完成で導く(得意な人向けの視点)。 「最大が $\frac{1}{4}$」を暗記せず、$2$ 次関数として自分で確かめられる。

$\hat{p}$ を変数とみると $\hat{p}(1-\hat{p})=\hat{p}-{\hat{p}}^2$。平方完成すると

$$\hat{p}-{\hat{p}}^2=-{\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}.$$

$-{\left(\hat{p}-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$ だから、この式は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。どんな $\hat{p}$ でも $\hat{p}(1-\hat{p})\le \frac{1}{4}$ だと分かる。

あとは最悪値 $\frac{1}{4}$ を使い、$1.96\sqrt{\frac{1/4}{n}}=\frac{0.98}{\sqrt{n}}\le 0.05$ を解いて $\sqrt{n}\ge 19.6$、$n\ge 384.16$、$n=385$。

最大を天下り式に使う本解と同じ答え。放物線の頂点として最悪値をとらえると、なぜ $\hat{p}=\frac{1}{2}$ が最悪なのかまで腑に落ちる。