母平均の信頼区間の幅と必要標本数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 信頼区間の幅は、標本の大きさ $n$ で決まる。まず幅を $n$ の式で書く。

信頼度 $95\%$ の区間は $\bar{X}\pm 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ で、幅はその2倍 $2\cdot 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。

「幅 $\le 2$」という条件を $n$ の不等式にする。$\sqrt{n}$ について解いて2乗すれば $n$ の下界が出る。$n$ は整数だから最後は切り上げだ。

① 幅の式。 信頼区間の幅は $$W=2\cdot 1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}=2\cdot 1.96\cdot \frac{10}{\sqrt{n}}=\frac{39.2}{\sqrt{n}}.$$ ② 不等式を解く。 $W\le 2$ より $$\frac{39.2}{\sqrt{n}}\le 2⟹\sqrt{n}\ge 19.6⟹n\ge 19.6^2=\mathrm{384.16.}$$ ③ 標本数。 $n$ は自然数だから、少なくとも $$n=385.$$

まとめ 幅 $\frac{39.2}{\sqrt{n}}\le 2$ を解いて $n\ge 384.16$、少なくとも $n=385$。信頼区間(標本平均)と標本数設計の融合。標準誤差 $\sigma /\sqrt{n}$ が幅を決める。

発展 — 一歩先へ。 精度を $\frac{1}{10}$ にするには標本を $100$ 倍必要、という「$2$ 乗の壁」は統計調査の宿命だ。だから全数調査でなく標本調査が使われ、また「あと少し精度を上げる」ための追加コストが跳ね上がる。$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ の $\sqrt{n}$ は、努力に対する見返りが逓減することを数式で語っている。

別解

別解 — 「精度を上げるコスト」として比で捉える(得意な人向けの高い視点)。 区間の幅 $w=2\cdot 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ に比例する。つまり幅と標本数の間には

$$w\propto \frac{1}{\sqrt{n}}⟺n\propto \frac{1}{w^2}$$

という関係がある。「幅を半分にしたければ $n$ を $4$ 倍」「$\frac{1}{10}$ にしたければ $100$ 倍」— 精度を上げるコストは幅の2乗で効く。

本問は $w\le 2$ を $2\cdot 1.96\cdot \frac{10}{\sqrt{n}}\le 2$ と書き、$\sqrt{n}\ge 19.6$、$n\ge 384.16$。整数で切り上げて $n\ge 385$。

もし $\sigma$ が半分($5$)になれば、必要な $n$ は $\frac{1}{4}$ で済む(約 $97$)。標本の質(ばらつきの小ささ)と量(標本数)が、$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ という1つの量にまとまって効いている。