母比率の信頼区間

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 母比率の信頼区間は、標本比率 $\hat{p}$ を中心に、その散らばりぶんだけ幅をとる。

まず $\hat{p}=\frac{200}{400}=0.5$。標本比率の標準偏差(標準誤差)は $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ で計算する。

信頼度 $95\%$ の区間は $\hat{p}\pm 1.96\times (\text{標準誤差})$。数値を入れれば区間が確定する。

① 標本比率。 $\hat{p}=\frac{200}{400}=0.5$。

② 標準偏差。 $$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.5\times 0.5}{400}}=\sqrt{\frac{0.25}{400}}=\frac{0.5}{20}=\mathrm{0.025.}$$ ③ 信頼区間。 $$\hat{p}\pm 1.96\times 0.025=0.5\pm 0.049,$$ すなわち $[0.451,0.549]$。

まとめ $\hat{p}=0.5$、標準偏差 $0.025$、$95\%$ 信頼区間 $0.5\pm 0.049=[0.451,0.549]$。母比率(信頼区間)と標準偏差の計算の融合。

発展 — 一歩先へ。 $\hat{p}(1-\hat{p})$ が $\hat{p}=0.5$ で最大になるので、賛否が拮抗しているときほど信頼区間は広い(=結論が出しにくい)。逆に賛成率が $0.9$ のように偏っていれば、同じ標本数でも区間は狭くなる。「接戦ほど当落予想が難しい」という選挙報道の感覚は、この $\hat{p}(1-\hat{p})$ の山に裏打ちされている。

別解

別解 — 区間の「幅」から必要な人数を逆算する(得意な人向けの視点)。 求めた区間 $0.5\pm 0.049$ の幅は約 $0.098$、およそ $\pm 5$ ポイント。この幅がどこから来るかを、標本数 $n$ の目で見る。

幅の半分(誤差の限界)は $1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=0.5$ のとき最大 $\frac{1}{4}$ をとる。つまり賛成率がちょうど半々のとき、区間は最も広くなる。

逆に「誤差を $\pm 3$ ポイント以内にしたい」なら、最悪評価 $\hat{p}(1-\hat{p})=\frac{1}{4}$ で

$$1.96\sqrt{\frac{0.25}{n}}\le 0.03⟹n\ge {\left(\frac{1.96\times 0.5}{0.03}\right)}^2\approx 1068.$$

世論調査で「約$1000$人」がよく使われるのは、この $\pm 3\%$ 精度に対応するからだ。本問の $400$ 人は $\pm 5\%$ の精度、と読める。区間を「出して終わり」でなく、幅と人数の関係で捉えると調査の設計まで見える。