標本平均の分布と確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 標本平均 $\overline{X}$ も確率変数で、母集団が正規分布なら $N\left(\mu ,{\left(\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)}^2\right)$ に従う。

平均は母平均のまま $60$。標準偏差は母標準偏差を $\sqrt{n}=5$ で割って小さくなる($\frac{10}{5}=2$)。標本をまとめると平均は安定するからだ。

確率は $\overline{X}=64$ を標準化して $Z$ に直す。$Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$。

そのうえで、正規分布表を使って右すその面積を読む、と見通す。

① $\overline{X}$ の平均と標準偏差。 平均は $60$。標準偏差は

$$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$$

② 標準化する。

$$Z=\frac{\overline{X}-60}{2}$$

$\overline{X}=64$ のとき $Z=\frac{64-60}{2}=2$。

③ 確率を求める。 $P(\overline{X}\ge 64)=P(Z\ge 2)$。右すそだから

$$P(Z\ge 2)=0.5-P(0\le Z\le 2)=0.5-0.4772=0.0228$$

まとめ:標本平均は「平均は母平均のまま、標準偏差は $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$」で $n$ が大きいほど散らばりが小さい。確率は標準化 $Z=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ して表で読む。$P(Z\ge 2)$ は右すそ $0.5-0.4772$。

発展 — 一歩先へ。 じつは母集団が正規分布でなくても、標本平均は $n$ が大きければ近似的に正規分布になる。これが中心極限定理だ。

キモは標準偏差 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$(標準誤差)。$n$ を大きくすると $\sqrt{n}$ で割るぶんだけ散らばりが縮む。

ただし $\sqrt{n}$ なので効きは鈍い。精度を $2$ 倍にする(標準誤差を半分にする)には、標本を $4$ 倍にする必要がある。「たくさん集めれば精度は上がるが、費用は割に合わなくなっていく」という統計の基本的なトレードオフだ。

別解

別解 — 標本の大きさで確率がどう変わるかを見る(得意な人向けの視点)。 なぜ $n=25$ で $64$ 以上が「珍しい」となるのか。標本の大きさを変えて比べると腑に落ちる。

$n=25$ では標準偏差 $\frac{10}{\sqrt{25}}=2$。$64$ は平均 $60$ から $4$ 離れ、標準偏差 $2$ の $2$ 個ぶん。だから $Z=\frac{64-60}{2}=2$、確率 $0.0228$。

もし標本が $n=4$ しかなければ、標準偏差は $\frac{10}{\sqrt{4}}=5$。同じ $64$ でも $Z=\frac{64-60}{5}=0.8$ にしかならず、ずっと「ありふれた」値になる。

同じ「$64$ 以上」でも、標本が大きいほど平均から見て極端な値になる。標準化する本解と結論は同じで、$\frac{1}{\sqrt{n}}$ で散らばりが縮む効果が数字で見える。