二項分布の分散

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 二項分布と分かった時点で、平均も分散も公式から即座に出る。

$$E(X)=np,V(X)=npq(q=1-p)$$

この $2$ つは、セットで覚える。

$q=1-p$ は「はずれる確率」だ。 分散の式に $p$ と $q$ の両方が出てくることには、意味がある。

極端な場合を考えてみよう。

• $p=1$(必ず当たる) なら $q=0$ で、$V=0$ — 散らばりゼロ(毎回必ず当たるから、回数は常に $n$ 回)
• $p=0$(絶対当たらない) でも $V=0$ — やはり散らばりゼロ
• $p=\frac{1}{2}$(五分五分) のとき $pq$ は最大 — いちばん予測しづらい

「確実なら散らばらない。五分五分がいちばん揺れる。」 $npq$ という式は、その直感を数式にしたものだ。

あとは、$n=100$、$p=\frac{1}{5}$、$q=\frac{4}{5}$ を代入するだけ。

① 分散を計算する。 $p=\frac{1}{5}$、$q=\frac{4}{5}$。

$$V(X)=npq=100\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5}=100\times \frac{4}{25}=16$$

② 標準偏差を求める。

$$\sigma (X)=\sqrt{16}=4$$

まとめ:二項分布は「期待値 $np$、分散 $npq$」をセットで覚える。定義から計算しなくても、この公式で一発。標準偏差はそのルートだ。

発展 — 一歩先へ。 $\sigma$ という「ものさし」は、工場の品質管理を支えている。

シックスシグマという言葉を聞いたことがあるだろうか。

製品の寸法にはバラつきがある。平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ で散らばるとしよう。

規格の許容範囲が $\mu \pm 3\sigma$ なら、不良品は約 $0.3\%$。 $1000$ 個作って $3$ 個の不良だ。

これでは足りない、というのが現代の製造業だ。

$1$ 台の車には $3$ 万点の部品が使われる。$1$ 部品あたり $0.3\%$ の不良率なら、車 $1$ 台が完璧である確率は

$$(0.997{)}^{30000}\approx 0$$

ほぼゼロ。 どこかに必ず不良品が混ざる。

そこで、許容範囲を $\pm 6\sigma$ に広げる(逆に言えば、$\sigma$ を小さくして $6\sigma$ が規格内に収まるようにする)。

不良率は、$100$ 万個あたり $3.4$ 個。 これがシックスシグマの目標である。

$3\sigma$ から $6\sigma$ へ。 たった $2$ 倍だが、不良率は $1000$ 倍以上改善する。正規分布のすそが、指数関数的に薄いからだ。

$\sigma$ を減らす $2$ つの道。

(1) 工程そのものを改善する(バラつきの原因を潰す)

(2) $\sqrt{n}$ の法則を使う — 複数回測って平均をとれば、平均のバラつきは $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ に減る

測定の世界では、(2) が日常的に使われている。

$1$ 回の測定の誤差が $\pm 1$ mm でも、$100$ 回測って平均すれば、誤差は $\pm 0.1$ mm になる。

$$\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}$$

ただし、精度を $10$ 倍にするには測定回数が $100$ 倍必要。 $\sqrt{n}$ の法則は、恵みであると同時に、厳しい制約でもある。

世論調査で「$1000$ 人に聞けば十分」と言われるのも、$1500$ 人に増やしても誤差が $\sqrt{1.5}\approx 1.2$ 分の $1$ にしかならないからだ。

$\sigma$ を知ることは、「どこまで信じてよいか」を知ることである。

別解

答えの $\sigma =4$ が、何を意味するかを読む。

計算して終わりにしない。「$4$ という数は、何を語っているのか」を考える別解である。

まず、平均は $20$ 回、標準偏差は $4$ 回。

標準偏差とは「だいたいこれくらいズレる」という目安だった。だから

$$20\pm 4⟹16\text{ 回}\sim 24\text{ 回}$$

この範囲に、実際どれくらい収まるのか。

厳密に計算すると(二項分布の確率をすべて足す)

$$P(16\leqq X\leqq 24)\approx 0.74$$

約 $74\%$。 $4$ 回に $3$ 回は、この範囲に収まる。

$2\sigma$($\pm 8$)まで広げると

$$P(12\leqq X\leqq 28)\approx 0.967$$

約 $97\%$。 ほとんどすべてがこの中だ。

「$100$ 回引いて、当たりは $12$ 回から $28$ 回のあいだ」 — これが実感である。

次に、標本を増やすとどうなるか。

$400$ 回引いたら?

$$E=400\times \frac{1}{5}=80,\sigma =\sqrt{400\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5}}=\sqrt{64}=8$$

回数を $4$ 倍にしたら、$\sigma$ は $2$ 倍($4\to 8$)にしかならない。

$\sigma$ は $\sqrt{n}$ に比例する。 これが有名な $\sqrt{n}$ の法則である。

ここに、統計のいちばん大事な事実がある。

「平均に対するブレの割合」を見よう。

$$\frac{\sigma }{E}=\frac{4}{20}=0.20(100\text{ 回のとき})$$

$$\frac{\sigma }{E}=\frac{8}{80}=0.10(400\text{ 回のとき})$$

回数を $4$ 倍にすると、相対的なブレは半分になった。

「たくさん試すほど、割合は安定する」 — これが大数の法則の中身である。

$100$ 回では「当たり率 $20\%\pm 4\%$」とブレるが、$10000$ 回引けば $\sigma =40$、$E=2000$ なので

$$\frac{40}{2000}=0.02(\pm 2\%)$$

当たり率は $20\%\pm 2\%$ に収まる。

回数が増えるほど、実測の割合は真の確率 $\frac{1}{5}$ に近づいていく。

だからこそ、カジノは必ず儲かる。 $1$ 回ごとの勝負は運まかせでも、何万回も繰り返せば、割合はきっかり期待値に収束する。

$\sigma =4$ という数の裏には、「大量に繰り返せば予測できる」という統計学の根拠が横たわっている。