母平均の信頼区間

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 標本平均 $50$ が得られた。母平均 $m$ そのものは分からない — が、「$m$ がこのあたりにいる」と幅で答えることはできる。それが信頼区間だ。

信頼度 $95\%$ の公式は

$$\overline{X}-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leqq m\leqq \overline{X}+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

部品は $3$ つ。標本平均 $\overline{X}=50$、ばらつきの単位 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{10}=1$、そして $95\%$ に対応する係数 $1.96$。代入して $50\pm 1.96$。

① 標準誤差を出す。 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{100}}=\frac{10}{10}=1$。

② 信頼区間を計算する。 $\overline{X}=50$、$1.96\cdot 1=1.96$。

$$50-1.96\leqq m\leqq 50+1.96$$

$$48.04\leqq m\leqq 51.96$$

まとめ:信頼区間は「標本平均を中心に、$\pm 1.96\times$ 標準誤差」。信頼度 $95\%$ は「この区間が母平均を含む確率が $95\%$」という意味。標準誤差 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ を正しく出すのがカギだ。

発展 — 一歩先へ。 区間の幅は $2\times 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}=3.92$。幅を半分にしたければ $\sqrt{n}$ を $2$ 倍 — つまり標本を $4$ 倍($400$ 個)集める必要がある。「精度は $\sqrt{n}$ でしか買えない」という標本平均の性質が、そのまま調査コストの見積もり式になる。

信頼度を $99\%$ に上げると係数は $1.96\to 2.58$、区間は広がる。「自信を持ちたければ幅を広く、幅を絞りたければ自信を下げるか標本を増やす」— 信頼度・幅・標本数の三すくみが、この $1$ 本の式に収まっている。

別解

公式の $\pm 1.96$ がどこから来るか — 前の問題(標本平均の分布)から不等式を裏返すだけで導ける。

標本平均 $\overline{X}$ は $N\left(m,1^2\right)$ に従う($\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=1$)。正規分布では $95\%$ の確率で $\pm 1.96\sigma$ に収まるから

$$P(|\overline{X}-m|\leqq 1.96)=0.95$$

ここで絶対値の不等式 $|\overline{X}-m|\leqq 1.96$ を読み替える。「$\overline{X}$ が $m$ から $1.96$ 以内」と「$m$ が $\overline{X}$ から $1.96$ 以内」は、同じことを主語を替えて言っただけだ。

$$m-1.96\leqq \overline{X}\leqq m+1.96⟺\overline{X}-1.96\leqq m\leqq \overline{X}+1.96$$

観測値 $\overline{X}=50$ を入れて $[48.04,51.96]$ — 公式と同じ区間が、意味つきで出てきた。

「信頼区間 $=$ 標本平均の届く範囲を、母平均の側から見直したもの」。この裏返しの一歩を一度自分で踏むと、公式の $\pm$ の中身を忘れなくなる。