1次式の期待値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2X+3$ とは、「$X$ を $2$ 倍して、$3$ 足す」という変換だ。

全員のテストの点を $2$ 倍して $3$ 点おまけしたと思えばいい。

そのとき、平均点はどうなるか。

当然、平均も $2$ 倍して $3$ 足した値になる。 全員に同じ操作をしたのだから、平均も同じ操作を受ける。

$$E(2X+3)=2E(X)+3$$

期待値は、$1$ 次式をそのまま通り抜ける。 これを期待値の線形性という。

直感どおりの性質だが、あとで「分散はそうならない」ことを学ぶと、この当たり前さがありがたく感じられる。

まずは公式に値を入れるだけ。

公式に $a=2$、$b=3$、$E(X)=\frac{3}{2}$ を入れる。

$$E(2X+3)=2E(X)+3=2\cdot \frac{3}{2}+3=3+3=6$$

まとめ:期待値は「$aX+b$ の形をそのまま通す」。$X$ を $2$ 倍して $3$ 足した量の平均は、平均を $2$ 倍して $3$ 足したものに等しい。直感どおりだ。

発展 — 一歩先へ。 期待値が素通りするのは、$1$ 次式だけだ。$2$ 乗になると、話は変わる。

確かめてみよう。 $X$ は $0,1,2,3$ を $\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$ でとる。

$$E(X)=\frac{3}{2}⟹\{E(X){\}}^2=\frac{9}{4}=2.25$$

一方、$X^2$ の期待値は

$$E(X^2)=0\cdot \frac{1}{8}+1\cdot \frac{3}{8}+4\cdot \frac{3}{8}+9\cdot \frac{1}{8}=3$$

$$E(X^2)=3\ne \{E(X){\}}^2=2.25$$

一致しない。 しかも、必ず $E(X^2)$ のほうが大きい。

その差は何か。

$$E(X^2)-\{E(X){\}}^2=3-2.25=0.75=V(X)$$

分散だ!

$$\boxed{E(X^2)-\{E(X){\}}^2=V(X)\geqq 0}$$

分散は $2$ 乗の平均だから、必ず $0$ 以上。 だから

$$E(X^2)\geqq \{E(X){\}}^2$$

が、いつでも成り立つ。 等号が成り立つのは、$X$ が常に同じ値をとるとき(散らばりゼロ)だけだ。

この不等式は、もっと一般的な定理の一例である。

イェンセンの不等式。 下に凸な関数 $f$ について

$$E[f(X)]\geqq f(E[X])$$

「先に関数を通してから平均」は、「先に平均してから関数を通す」より大きい。

$f(x)=x^2$ は下に凸だから、$E(X^2)\geqq \{E(X){\}}^2$ になる。

身近な例で言えば。

平均年収 $500$ 万円の集団があるとする。「年収の $2$ 乗の平均」は、$500^2$ より必ず大きい。格差(散らばり)があるほど、大きくなる。

逆に、$f(x)=\sqrt{x}$ は上に凸なので、不等号が逆を向く。

$$E[\sqrt{X}]\leqq \sqrt{E[X]}$$

「平均の平方根」より「平方根の平均」のほうが小さい。

平均と関数は、順番を入れかえてはいけない。 $1$ 次式だけが、この規則の唯一の例外なのだ。

別解

公式を信じずに、分布表を作り直して確かめる。

「本当にそうなるの?」を、自分の手で確認する別解である。

もとの分布($X$ が $0,1,2,3$ を $\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$ でとる)から、$Y=2X+3$ の分布を作る。

値を $1$ つずつ変換する。

$$X=0\to Y=3,X=1\to Y=5$$ $$X=2\to Y=7,X=3\to Y=9$$

確率は変わらない。 「$X$ が $1$ になる」ことと「$Y$ が $5$ になる」ことは、同じ出来事だからだ。

$$P(Y=5)=P(X=1)=\frac{3}{8}$$

新しい分布表ができた。 $Y$ は $3,5,7,9$ を $\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$ でとる。

期待値を、定義どおり計算する。

$$E(Y)=3\cdot \frac{1}{8}+5\cdot \frac{3}{8}+7\cdot \frac{3}{8}+9\cdot \frac{1}{8}$$

$$=\frac{3+15+21+9}{8}=\frac{48}{8}=6$$

公式と同じ答え ✓

公式が「本当だった」ことを、自分で確かめられた。

この作業から見えること。

$$0,1,2,3\stackrel{\times 2}{\to }0,2,4,6\stackrel{+3}{\to }3,5,7,9$$

値の間隔が $2$ 倍に広がり、全体が $3$ だけ右へずれた。

重心(期待値)も、同じように動く。 $1.5$ が $2$ 倍で $3$、そこに $+3$ して $6$。

確率(重み)は $1$ つも変わっていない。 変わったのは、おもりを置く位置だけだ。

だから重心も、位置と同じ変換を受ける。 これが $E(aX+b)=aE(X)+b$ の正体である。

公式が不安なときは、分布表を作り直せばいい。 $4$ 行の表なら $1$ 分で検算できる。「公式を確かめる手段を持っている」ことが、本当の自信になる。