推定に必要な標本の大きさ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 誤差は $1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。だが肝心の $p$ が分からない。

そこで「最悪の場合(誤差がいちばん大きくなる場合)」で見積もる。$p(1-p)$ は $p=\frac{1}{2}$ のとき最大 $\frac{1}{4}$。

この最大値を使えば、どんな $p$ でも実際の誤差はこれ以下になる。だから安全に条件を満たせる。

あとは $1.96\sqrt{\frac{1}{4n}}\le 0.05$ を $n$ について解いて、下限を求める。

① 最悪評価の不等式。 誤差 $\le 0.05$、$p(1-p)\le \frac{1}{4}$ より

$$1.96\sqrt{\frac{1}{4n}}\le 0.05$$

② $n$ について解く。 $\sqrt{\frac{1}{4n}}=\frac{1}{2\sqrt{n}}$ だから

$$1.96\cdot \frac{1}{2\sqrt{n}}\le 0.05⟹\sqrt{n}\ge \frac{1.96}{2\cdot 0.05}=\frac{1.96}{0.1}=19.6$$

よって $n\ge 19.6^2=384.16$。

③ 最小の $n$。 $n$ は整数だから、$384.16$ 以上の最小の整数 $n=385$。

まとめ:必要な標本数は「$p$ 不明なら $p(1-p)\le \frac{1}{4}$ で最悪評価」。$1.96\sqrt{\frac{1}{4n}}\le 0.05$ を解くと $\sqrt{n}\ge 19.6$、$n\ge 384.16$。切り上げて $385$。$\frac{1}{4}$ を使えば、どんな $p$ でも誤差が条件を満たす。

発展 — 一歩先へ。 誤差は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ に比例するので、精度を上げるのは割高だ。誤差を半分の $0.025$ にしたいなら、$n$ は $4$ 倍の約 $1537$ 必要になる。

世論調査でよく $1000$ 人前後を集めるのも、この式の裏返し。$n=1000$ なら最悪でも誤差はおよそ $3\%$ に収まる。「$1$ 万人調べても誤差は $1\%$ 程度までしか下がらない」ため、費用対効果で $1000$ 前後が選ばれる。

もし事前に $p$ の見当がつくなら($p\approx 0.2$ など)、$p(1-p)$ は $\frac{1}{4}$ より小さくてよく、必要な標本は減る。最悪評価はあくまで「見当がつかないとき」の安全策だ。

別解

別解 — 一般公式にまとめてから代入する(得意な人向けの視点)。 数値を先に入れず、文字のまま解いておくと見通しがよい。

誤差 $z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\le \epsilon$ を $n$ について解くと

$$n\ge {\left(\frac{z}{\epsilon }\right)}^{2}p(1-p).$$

$p$ 不明なら $p(1-p)\le \frac{1}{4}$ を使い、$n\ge \frac{1}{4}{\left(\frac{z}{\epsilon }\right)}^2$。ここに $z=1.96$、$\epsilon =0.05$ を入れると

$$n\ge \frac{1}{4}{\left(\frac{1.96}{0.05}\right)}^2=\frac{1}{4}\cdot 39.2^2=\frac{1536.64}{4}=\mathrm{384.16.}$$

切り上げて $n=385$。本解と同じ。この一般式なら、もし事前に $p\approx 0.2$ と分かっていれば $p(1-p)=0.16$ を使い、$n\ge 0.16\cdot 1536.64\approx 246$ と、より小さい標本で済むこともすぐ計算できる。