独立な確率変数の和の分散

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 使う道具は $1$ つ — 独立なら分散は足せる。

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)=4+9=13$$

標準偏差はその平方根で $\sigma (X+Y)=\sqrt{13}$。

注意すべきは順序だ。足せるのは分散であって、標準偏差ではない。$\sigma (X)+\sigma (Y)=2+3=5$ と $\sqrt{13}\approx 3.6$ は別物 — 「分散の世界で足してから、最後に平方根」の一方通行を守る。

① 分散を足す。 独立なので

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)=4+9=13$$

② 標準偏差を求める。

$$\sigma (X+Y)=\sqrt{V(X+Y)}=\sqrt{13}$$

まとめ:分散の加法性 $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ は独立のときだけ(期待値の加法性はいつでも、と対照的)。そして標準偏差は足せない:$\sqrt{13}\ne \sqrt{4}+\sqrt{9}$。分散で足してから最後にルートをとる。

発展 — 一歩先へ。 差にしても分散は足し算になる: $V(X-Y)=V(X)+V(Y)=13$。$-Y$ の分散は $(-1{)}^{2}V(Y)=V(Y)$ のままだからだ。「引き算してもばらつきは打ち消し合わない」— 測定値の差をとるとき誤差はむしろ増える、という実験の常識がここにある。

独立でない場合は $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ と共分散の補正が付く(大学レベル)。三平方の絵で言えば、直角でない三角形の余弦定理にあたる — 独立(直交)は、その特別にきれいな場合である。

別解

「分散は足せて標準偏差は足せない」を、三平方の定理の絵で覚える方法がある。

$X$ のばらつき ${\sigma }_X=2$ と $Y$ のばらつき ${\sigma }_Y=3$ を、直交する $2$ 辺のベクトルだと思う。独立な $2$ つのゆらぎは互いに無関係な方向を向いているから、合成したゆらぎは斜辺 — 長さは

$$\sigma (X+Y)=\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$$

まさに直角三角形の斜辺の公式($2^2+3^2=13$)だ。

斜辺は $2$ 辺の和より必ず短い($\sqrt{13}\approx 3.6<5$)— 標準偏差を単純に足すと過大評価になる理由が、三角形の絵から一目で分かる。独立なゆらぎは同時に最悪方向へ揃わないので、合成は「和」より穏やかになるのだ。

「独立 $=$ 直交、合成 $=$ 斜辺」。このイメージは、統計だけでなく測定誤差の合成(物理・工学)でもそのまま使われている。