数学B / 統計的な推測

二項分布の正規近似(確率)

★★★ 応用二項分布正規近似

問題

$1$ 枚の硬貨を $100$ 回投げて表が出る回数を $X$ とする。 $X$ が $60$ 回以上になる確率を正規分布で近似して求めよ。ただし $P (0 ≦ Z ≦ 2) = 0.4772$ とする。

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二項分布を正規分布で近似する型。近似先の平均・標準偏差を出し、境界の値を標準化する。『以上』の確率は全体の半分から表の値を引く形。

解答・解説

$X \sim B (100, \frac{1}{2})$ 。平均 $n p = 50$ 、標準偏差 $n pq = 5$ 。 $N (50, 5^{2})$ で近似し、 $X = 60$ を標準化して右のすそ野の確率を求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $B (100, \frac{1}{2})$ は試行回数が多い。こういう大きな二項分布は、正規分布で近似できる。

近似先は $N (50, 5^{2})$ 。平均 $n p = 50$ 、標準偏差 $n pq = 5$ をまず出す。

あとは $X = 60$ を標準化し、右のすそ野の面積(確率)を読む。

「大きな二項分布 → 正規近似 → 標準化 → 表」という流れに乗せる。

重要

B (n, p) \approx N (n p, n pq)

。標準化して右すそは

P (Z ≧ z) = 0.5 - (表の値)

① 平均・標準偏差を出す。 $X \sim B (100, \frac{1}{2})$ 。

$n p = 50, σ = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25 = 5$

よって $X \approx N (50, 5^{2})$ 。

② 標準化する。 $X = 60$ 。

$Z = \frac{60 - 50}{5} = 2$

③ 確率を求める。 右のすそ野。

$P (X ≧ 60) = P (Z ≧ 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$

N(50,5^2)を標準化。Z≧2 の右すそ 0.5-0.4772=0.0228

まとめ:正規近似は「 $N (n p, n pq)$ に化けさせて標準化」。 $σ = n pq = 5$ を正確に。 $P (Z ≧ 2)$ のような右すそは、全体の右半分 $0.5$ から中央〜 $z$ の面積を引く。約 $2.3%$ という小さい確率だ。

発展 — 一歩先へ。 二項分布は本来とびとびの値をとるのに、なめらかな正規分布で近似している。ここに小さなずれの原因がある。

より正確にするには、 $X = 60$ の左端 $59.5$ を境目に使う「半整数補正」がある。 $Z = \frac{59.5 - 50}{5} = 1.9$ となり、確率は約 $0.0287$ 。二項分布の正確な値(約 $0.028$ )にぐっと近づく。

この近似がよく効くのは、 $n p$ と $n (1 - p)$ がどちらも $5$ 以上のとき。今回は $n p = n (1 - p) = 50$ で十分大きく、近似の精度も高い。

答

約 $0.0228$

別解 — 中央の帯から左右対称のすそを取り出す(苦手な人向けの視覚ルート)。 右すそを直接読むかわりに、真ん中の帯から攻める。

$X = 60$ は平均 $50$ から標準偏差 $2$ 個ぶん上、 $X = 40$ はちょうど $2$ 個ぶん下。標準化すると $Z = \pm 2$ にあたる。

表より、中央 $- 2 \leq Z \leq 2$ の帯の面積は $2 \times 0.4772 = 0.9544$ 。釣鐘全体は $1$ だから、両側のすそ野を合わせると $1 - 0.9544 = 0.0456$ 。

硬貨は公正で分布は左右対称だから、この $0.0456$ を半分ずつに分ける。片側のすそが

$P (X ≧ 60) = \frac{0.0456}{2} = 0.0228.$

右すそを直接引く本解と同じ $0.0228$ 。「中央の帯 → 残りを対称に二等分」という見方は、左右対称な分布でミスが起きにくい。