標準正規分布の確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正規分布では、確率 $=$ 曲線の下の面積だ。

$$P(0\leqq Z\leqq 1)=(\text{Z 軸の 0 から 1 までの、釣鐘の下の面積})$$

なぜ面積なのか。 $Z$ は連続的な値をとるので、「ちょうど $Z=1$ になる確率」は $0$ になってしまう。幅のある区間でしか、確率は語れない。

だから面積で測る。

この面積は、手では計算できない($e^{-z^2/2}$ の積分は、初等関数では書けない)。だからあらかじめ計算した表が用意されている。

正規分布表が返すのは「$0$ から $z$ までの面積」だ。

表を引く前に、必ず「どこの面積を知りたいのか」を図で確認する。 表が返すのは中央から右の面積であって、それ以外ではない。

この問題は、まさに表そのものを引く形になっている。

表より $z=1.00$ の値を読む。

$$P(0\leqq Z\leqq 1)=0.3413$$

これは、標準正規分布の曲線の下で、$Z=0$(中央)から $Z=1$ までの面積(= 確率)。

まとめ:確率 = 曲線の下の面積。正規分布表は「中央 $0$ から $z$ まで」の面積を並べた表。$z=1$ で $0.3413$、つまり全体の約 $34\%$ がこの範囲に入る。

発展 — 一歩先へ。 そもそも、なぜ正規分布が特別扱いされるのか。世の中には無数の分布があるのに。

理由は、中心極限定理にある。

「独立な確率変数をたくさん足し合わせると、その和の分布は、もとの分布が何であれ、正規分布に近づく」

「もとの分布が何であれ」— ここが驚異的だ。

サイコロで実験してみよう。

$1$ 個振る。 出る目の分布は $1$ 〜 $6$ が等確率 — 平らな長方形だ。釣鐘のかけらもない。

$2$ 個振って和をとる。 和は $2$ 〜 $12$ で、$7$ がいちばん出やすい — 三角形の分布になる。

$5$ 個振って和をとる。 もう釣鐘の形が見えてくる。

$30$ 個振れば、ほとんど正規分布と区別がつかない。

平らな分布を足しただけで、山ができる。 これが中心極限定理の実演だ。

なぜ、こんなことが起こるのか。

極端な値になるには、"全部"が極端でなければならないからだ。

サイコロ $30$ 個の和が $30$(最小)になるには、$30$ 個すべてが $1$ でなければならない。確率は ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{30}$ — ほぼゼロ。

一方、和が $105$(平均あたり)になる組み合わせは、天文学的な数がある。

「真ん中は組み合わせが多く、端は組み合わせが少ない」 — この単純な事実が、山を作る。

この定理が、統計学のすべてを支えている。

• 標本平均は、たくさんのデータの和(を $n$ で割ったもの)→ 正規分布に近づく
• 測定誤差は、無数の小さな誤差の和 → 正規分布
• 身長は、無数の遺伝的・環境的要因の和 → 正規分布

「もとが何であれ、足せば釣鐘」

だから、母集団の分布を知らなくても、標本平均については正規分布で議論できる。 母集団の正体を知らずに推測ができる — この魔法の根拠が、中心極限定理なのだ。

正規分布は、たまたま便利な分布ではない。 足し算の行き着く先という、数学的な必然として現れる。

別解

$1$ つの数 $0.3413$ から、対称性だけで芋づる式にすべてを出す。

正規分布表には「$0$ から $z$ まで」の面積しか載っていない。 それで足りるのは、釣鐘が左右対称だからだ。

まず、全体の面積は $1$。

$$(\text{確率の総和})=1$$

そして、中央 $0$ で左右に分かれる。

$$P(Z\leqq 0)=P(Z\geqq 0)=0.5$$

この $2$ つと、表の $0.3413$ だけで、あらゆる確率が出せる。

① $P(-1\leqq Z\leqq 1)$ — 中央をまたぐ範囲。

左半分($-1$ から $0$)は、右半分($0$ から $1$)と対称だから同じ面積。

$$P(-1\leqq Z\leqq 1)=2\times 0.3413=0.6826$$

約 $68\%$。

② $P(Z\geqq 1)$ — 右のすそ。

右半分の全体($0.5$)から、$0$ 〜 $1$ の分を引く。

$$P(Z\geqq 1)=0.5-0.3413=0.1587$$

約 $16\%$。

③ $P(Z\leqq 1)$ — $1$ より小さい全部。

左半分($0.5$)に、$0$ 〜 $1$ の分を足す。

$$P(Z\leqq 1)=0.5+0.3413=0.8413$$

約 $84\%$。

④ $P(Z\leqq -1)$ — 左のすそ。

対称性から、右のすそと同じ。

$$P(Z\leqq -1)=P(Z\geqq 1)=0.1587$$

表の $1$ 行から、$4$ つの確率が出た。

大事なのは、毎回「図のどこを塗るか」を確かめることだ。

• 中央をまたぐ → 足す(または $2$ 倍)
• すそ(片側の端) → $0.5$ から引く
• 負の側 → 対称性で正の側に読み替える

この $3$ つのパターンさえ押さえれば、正規分布の確率計算はすべて処理できる。

そして、次の $3$ つの数は暗記しておくと強い。

$$P(|Z|\leqq 1)\approx 0.68,P(|Z|\leqq 2)\approx 0.95,P(|Z|\leqq 3)\approx 0.997$$

「$68$–$95$–$99.7$ ルール」と呼ばれる。

$1\sigma$ の中に約 $7$ 割、$2\sigma$ の中に約 $95\%$、$3\sigma$ の中にほぼ全部。

この $3$ 数を頭に入れておけば、表がなくても、正規分布のだいたいの姿がつかめる。