数学B / 統計的な推測

仮説検定(片側)

★★★ 応用仮説検定

問題

ある工場の製品は不良率が $20%$ とされている。改善のため製法を変え、 $100$ 個を調べたところ不良品は $30$ 個だった。「不良率は $20%$ より高くなった」といえるか。有意水準 $5%$ で片側検定せよ。片側 $5%$ の棄却域の境界は $1.64$ とする。

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片側検定の型。仮説のもとでの平均・標準偏差から観測値を標準化し、片側の棄却域と比べる。両側のときと境界の値が違う理由も考えてみよう。

解答・解説

帰無仮説「不良率 $p = 0.2$ (変わらない)」を立てる。この仮定で不良品数 $X$ は $N (20, n pq)$ 。観測値 $30$ を標準化し、片側の棄却域( $Z > 1.64$ )に入るか調べる。「高くなった」を疑うので右側だけの片側検定。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 問われているのは「不良率が高くなったか」だけ。片方向の変化だけを見るので片側検定になる。

帰無仮説は「不良率は変わらず $p = 0.2$ 」。これが正しいと仮定する。

観測値を標準化し、右側の棄却域 $Z > 1.64$ に入るかを調べる。

一方向の主張は片側検定。境界が両側の $1.96$ と変わる点が主題だ。

定理片側検定(有意水準

5%

Z > 1.64

(右片側)なら帰無仮説を棄却する

① 帰無仮説を立てる。 「不良率は変わらず $p = 0.2$ 」。対立仮説は「 $p > 0.2$ (高くなった)」なので右片側検定。

② 仮説のもとで分布を出す。 $X \sim B (100, 0.2)$ を正規近似。

$n p = 20, σ = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16 = 4$

③ 観測値を標準化する。 不良 $30$ 個。

$Z = \frac{30 - 20}{4} = 2.5$

④ 棄却域と比べる。 片側 $5%$ の棄却域は $Z > 1.64$ 。 $Z = 2.5 > 1.64$ なので棄却域に入る。

片側5%の棄却域(Z>1.64)。Z=2.5 は棄却域内

結論。 帰無仮説は棄却される。不良率は $20%$ より高くなったといえる。

まとめ:「高くなったか」だけを問うので片側検定(右側だけ)。棄却域の境界は両側の $1.96$ より内側の $1.64$ 。同じ有意水準でも、片側のほうが棄却されやすい(境界が甘い)。問題文が『高い/低い』の一方向なら片側、と判断する。

発展 — 一歩先へ。 片側検定は、調べたい方向をあらかじめ絞るぶん、その向きの変化に敏感になる(境界が $1.64$ と甘い)。かわりに反対向きの変化はまったく検出できない。

だからどちらを使うかは、データを見る前に問いの立て方で決めておく必要がある。結果を見てから「片側にすれば棄却できる」と後出しで選ぶのは、有意水準をこっそり甘くする反則になる。

今回は「高くなったか」という一方向の問いなので片側で正しい。もし「 $20%$ と変わったか」を両方向で問うなら、境界は $1.96$ になり、判定がより慎重になる。問いの向きが、棄却域の形をそのまま決めている。

答

Z=2.5 は棄却域にあり、「不良率が高くなった」といえる

別解 — 珍しさを確率そのもので測る(得意な人向けの視点)。 「 $Z$ が境界を超えるか」ではなく、「仮説が正しいとき、これほど不良が多くなるのは偶然どれくらい珍しいか」を確率で直接見る。

仮説のもとで不良数は平均 $20$ 、標準偏差 $4$ 。観測値 $30$ の標準化は $Z = \frac{30 - 20}{4} = 2.5$ 。片側なので、右すその面積を読む。

$P (X ≧ 30) = P (Z ≧ 2.5) = 0.5 - 0.4938 = 0.0062.$

この確率 $0.62%$ は、有意水準 $5%$ よりずっと小さい。「偶然では起こりにくい」ので仮説を棄却する。

境界 $1.64$ と $Z$ を比べる本解と、棄却するという結論は同じ。境界と比べるかわりに「珍しさ $0.62%$ 」という数字で見ると、どれほど例外的かが直感でつかめる。