数学B / 統計的な推測
分散の性質(総合)
問題
独立な確率変数 、 について 、 のとき、 を求めよ。
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引き算でも分散は『足し算』になる — 係数の 乗が符号を消すから。なぜ引き算なのに散らばりは増えるのか、意味も考えてみてほしい。
解答・解説
方針
独立なら 。係数は 乗になり、符号(引き算の )も 乗で消えて正になる。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 独立な変数の分散は、係数を 乗してから足す。
だから となる。
引き算の も 乗されて 。符号は消え、結果は足し算になる。
「分散では符号が消え、係数は必ず 乗で効く」。引き算を含む形で総仕上げする。
係数は 、。分散では係数が 乗になる。
まとめ:引き算 でも、分散は足し算になる( で符号が消えるから)。独立な変数の分散は「係数の 乗をかけて足す」。 の に惑わされて引いてしまわないこと。
発展 — 一歩先へ。 分散が「係数の 乗で足す」なら、標準偏差はどう合わさるのか。
だから標準偏差は 。これは の標準偏差 と の標準偏差 を、直角三角形の斜辺のように合成した値だ()。
標準偏差はそのまま足すのではない。単純に足せば だが、実際は で、それより小さい。独立な散らばりは直交して重なるからだ。
この「 乗して足し、最後に平方根」という合成は、測定の誤差を見積もる誤差伝播でもそのまま使われる考え方だ。
別解
別解 — 具体的な を作って定義から確かめる(苦手な人向けの実験ルート)。 「引き算なのに足すの?」が不安なら、条件に合う変数を実際に作って計算してみる。
は を等確率でとるとする。平均 、分散は で条件どおり。 は を等確率でとると平均 、分散 。
独立なので 通りの組が等確率 。 の値は で、平均は 。
公式で一気に出す本解と同じ 。実際に作ってみると、 の引き算がむしろ値のふり幅を広げ、散らばりが増える様子が見てとれる。
ポイント
- (独立)。
- 引き算でも分散は足す()。
よくある間違い
- と引いてしまい、負の分散を出す。
- 係数の 乗を忘れ、 のように 乗で足す。
- 独立でないときにも同じ式を使い、共分散の項が加わることを見落とす。