母比率の信頼区間

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 母比率の信頼区間も、公式「$\hat{p}\pm 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$」への代入。

まず標本比率 $\hat{p}=\frac{100}{400}=0.25$ を出す。$400$ 人のうち賛成 $100$ 人の割合だ。

次に根号の中 $\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$ を計算する。ここで $\hat{p}(1-\hat{p})$ が標本比率のばらつきを表す。

その平方根に $1.96$ を掛けたものが幅。$\hat{p}$ の左右に振り分ける。

① 標本比率。 $\hat{p}=\frac{100}{400}=0.25$。

② 幅を計算する。 $\hat{p}(1-\hat{p})=0.25\cdot 0.75=0.1875$。根号の中は $\frac{0.1875}{400}$ で

$$1.96\sqrt{\frac{0.1875}{400}}=1.96\cdot \frac{\sqrt{0.1875}}{20}\approx 1.96\cdot \frac{0.433}{20}=1.96\cdot 0.02165\approx 0.0424$$

③ 区間を作る。

$$0.25-0.0424\le p\le 0.25+0.0424⟹0.2076\le p\le 0.2924$$

まとめ:母比率の信頼区間は「$\hat{p}\pm 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$」。$\hat{p}=0.25$、根号の中 $\frac{0.1875}{400}$ を計算して幅 $\pm 0.0424$。標本が大きいほど区間は狭くなる。

発展 — 一歩先へ。 本当は未知の母比率 $p$ でばらつき $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ を測りたい。だが $p$ が分からないので、その推定値 $\hat{p}$ で代用している。$n$ が大きければこの近似はよく効く。

区間の幅は $\hat{p}(1-\hat{p})$ が大きいほど広い。$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ で最大 $\frac{1}{4}$ になる。つまり賛否が拮抗しているときが、いちばん推定しにくい。

必要な標本の大きさを見積もるときは、この最悪の場合 $\frac{1}{4}$ を使う。次の問題(必要標本数の決定)へまっすぐつながる考え方だ。

別解

別解 — 最悪の場合で安全側に見積もる(得意な人向けの視点)。 $\hat{p}$ を使わず、ばらつきを最大に見積もった保守的な区間も作れる。

$\hat{p}(1-\hat{p})$ は $\hat{p}=\frac{1}{2}$ のとき最大の $\frac{1}{4}$。この最大値で根号の中を置きかえると

$$1.96\sqrt{\frac{1/4}{400}}=1.96\sqrt{\frac{0.25}{400}}=1.96\cdot 0.025=\mathrm{0.049.}$$

区間は $0.25-0.049\le p\le 0.25+0.049$、すなわち $0.201\le p\le 0.299$。

$\hat{p}=0.25$ をそのまま使う本解の幅 $0.0424$ より、こちらの幅 $0.049$ は少し広い。$\hat{p}$ が $\frac{1}{2}$ から離れているぶん、実際のばらつきは最大より小さいからだ。真の $p$ が分からない不安があるときは、この安全側の見積もりが役に立つ。