母平均の信頼区間

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 母平均の信頼区間は、公式「$\overline{X}\pm 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$」に代入するだけ。

標本平均 $52$ を中心に、左右へ同じ幅を広げた区間を作る。

その幅は $1.96$ 倍の $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。ここで $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ は「標本平均のばらつき(標準誤差)」を表す。

まず幅 $1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ を計算し、$52$ の左右に振り分ける。

① 幅を計算する。 $\sigma =10$、$n=100$ より

$$1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}=1.96\cdot \frac{10}{\sqrt{100}}=1.96\cdot \frac{10}{10}=1.96$$

② 区間を作る。 $\overline{X}=52$ を中心に

$$52-1.96\le m\le 52+1.96⟹50.04\le m\le 53.96$$

まとめ:母平均の $95\%$ 信頼区間は「標本平均 $\pm 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$」。$\sqrt{100}=10$ で $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=1$ となり、幅が $\pm 1.96$。標本が大きいほど($n$ 大)区間は狭く、精度が上がる。

発展 — 一歩先へ。 「信頼度 $95\%$」の意味は、意外と誤解されやすい。「母平均 $m$ がこの区間に入る確率が $0.95$」ではない。$m$ は動かない定数で、動くのは標本のほうだ。

正しくは「同じ調査を何度も繰り返せば、作られる区間の $95\%$ が $m$ を含む」。$1.96$ は、標準正規分布で中央 $95\%$ を切り取る境界からきている。

区間の幅は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ に比例する。$n$ を $4$ 倍にすれば幅は半分。信頼度を $99\%$ に上げたいなら $1.96$ を $2.58$ に替えるが、そのぶん区間は広くなる。精度と確信度はトレードオフの関係にある。

別解

別解 — なぜ $\pm 1.96$ なのかを導く(得意な人向けの視点)。 公式を丸暗記せず、標準化から組み立てられる。

標本平均 $\overline{X}$ を標準化した $Z=\frac{\overline{X}-m}{\sigma /\sqrt{n}}$ は、標準正規分布に従う。その中央 $95\%$ は

$$-1.96\le \frac{\overline{X}-m}{\sigma /\sqrt{n}}\le \mathrm{1.96.}$$

この不等式を $m$ について解く。各辺に $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ を掛け、$\overline{X}$ を移すと

$$\overline{X}-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le m\le \overline{X}+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

これに $\overline{X}=52$、$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{10}=1$ を入れて $50.04\le m\le 53.96$。

公式に代入する本解と同じ。$1.96$ が「標準正規で中央 $95\%$ を切る値」だと分かれば、信頼度を変えたときにどの数字を使うか($99\%$ なら $2.58$)も自分で決められる。