2つの一様乱数の和(面積で確率を測る)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2つの乱数の和はどう散らばるか。直感的には「真ん中が出やすい」はずだ。和が $0$ に近くなるのは「2つとも小さい」ときだけで、めったに起きない。

これを厳密に扱う道具が「面積 $=$ 確率」である。$(U,V)$ を平面上の点と見ると、この点は単位正方形の中に一様に散らばる。だから、ある事象の確率は、対応する領域の面積そのものになる。

$S=U+V\le s$ という条件は、直線 $u+v=s$ の左下側という領域を表す。その面積を計算すればよい。

$s$ が $1$ を超えるかどうかで、領域の形が三角形から五角形に変わる。ここが場合分けの理由である。

① (1) 三角形の面積。 $0\le s\le 1$ のとき、$u+v\le s$($u,v\ge 0$)の領域は、原点を直角の頂点とし、脚の長さが $s$ の直角二等辺三角形である。よって

$$P(S\le s)=\frac{s\cdot s}{2}=\frac{s^2}{2}$$

② (2) 補集合を使う。 $1\le s\le 2$ のとき、$u+v\le s$ の領域は五角形になって面倒だ。そこで補集合を見る。

$u+v>s$ の領域は、正方形の右上隅にある直角二等辺三角形で、脚の長さは $2-s$。よって

$$P(S>s)=\frac{(2-s{)}^2}{2}⟹P(S\le s)=1-\frac{(2-s{)}^2}{2}$$

③ (3) 帯の面積。 $\left|S-1\right|\le \frac{1}{2}$ は $\frac{1}{2}\le S\le \frac{3}{2}$ のこと。除かれるのは左下と右上の2つの三角形で、脚はどちらも $\frac{1}{2}$ だから、面積はそれぞれ

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$

よって

$$P\left(\left|S-1\right|\le \frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$$

④ (4) 期待値と分散。 和の期待値は、独立でなくても足せる。

$$E(S)=E(U)+E(V)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

分散は、$U$ と $V$ が独立だから足せる。

$$V(S)=V(U)+V(V)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$

($[0,1]$ 上の一様分布では $E(U)=\frac{1}{2}$、$E\left(U^2\right)=\frac{1}{3}$ だから $V(U)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。)

まとめ: 連続確率は「面積で測る」。領域の形が変わるところが場合分けの境目になる。和の期待値・分散は、分布の形を知らなくても公式で出る。

発展 — 一歩先へ。 (1)(2)から、$S$ の分布の様子が分かる。累積確率を $s$ で微分すると、密度は $s$($0\le s\le 1$)と $2-s$($1\le s\le 2$)で、$s=1$ を頂点とする三角形になる。真ん中が出やすい、という直感どおりだ。

さらに一様乱数を3つ、4つと足していくと、山はどんどん滑らかになり、やがて正規分布の釣鐘型に近づいていく。これが中心極限定理である。$2$ つでもう三角形の山ができている — その最初の一歩が、この問題なのだ。

コンピュータで正規分布に従う乱数を作るとき、昔は「一様乱数を12個足して $6$ を引く」という手軽な方法が使われた。$V=12\times \frac{1}{12}=1$ となって、平均 $0$・分散 $1$ のほぼ正規分布が得られるからである。足すだけで釣鐘型が現れる、という事実の実用版だ。

別解

サイコロで実感してから、連続に移る(苦手な人向け)。 サイコロを2個振ったときの和を思い出そう。

和が $2$ になるのは $(1,1)$ の1通り、$3$ は2通り、…、$7$ は $(1,6),(2,5),\dots ,(6,1)$ の6通り。そこから減っていき、$12$ は1通り。確率は $7$ を頂点とする三角形の形になる。真ん中の目が出やすいのだ。

本問はその連続版である。$36$ マスの表が単位正方形に、マスの個数が面積に置き換わっただけだ。$S\le s$ の領域が三角形になるのも、サイコロの表で「和が小さい」マスが左下の三角形にかたまるのと同じ理由である。

数え上げの世界(離散)と面積の世界(連続)は、同じ絵を違う言葉で語っている。連続確率で迷ったら、サイコロの表に戻る — これは強力な足場になる。

(3)の「和が真ん中あたりに来る確率が $\frac{3}{4}$ もある」という結果も、サイコロで「和が $5$ 以上 $9$ 以下」になる確率が $\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$ と高いことと同じ現象だ。両端は出にくく、真ん中に集まる。足し合わせるという操作には、そういう性質があるのである。