標本平均の分布と確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 個々のデータではなく「$100$ 個の平均 $\overline{X}$」が主役。平均をとると、ばらつきは縮む。

$$\overline{X}\sim N\left(\mu ,{\left(\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)}^2\right)$$

中心は母平均 $50$ のまま、標準偏差は $\frac{10}{\sqrt{100}}=1$ に縮む。

あとはいつもの標準化だ。$\overline{X}=52$ は $Z=\frac{52-50}{1}=2$ — 「平均の分布」の上では $+2\sigma$ という、かなり珍しい値になる。

① $\overline{X}$ の分布を出す。 平均 $\mu =50$、標準偏差 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{100}}=1$。よって $\overline{X}\approx N(50,1^2)$。

② 標準化する。 $\overline{X}=52$。

$$Z=\frac{52-50}{1}=2$$

③ 確率を求める。

$$P(\overline{X}\geqq 52)=P(Z\geqq 2)=0.5-0.4772=0.0228$$

まとめ:標本平均は $N\left(\mu ,{\left(\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)}^2\right)$。ふつうの正規分布の確率計算と同じだが、標準偏差が $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$(母標準偏差ではない)なのが要注意。ここを間違えると標準化がずれる。

発展 — 一歩先へ。 「標本平均 $52$ 以上になる確率は $2.28\%$」— この小ささを逆手にとるのが、次に学ぶ推定と仮説検定だ。実際に $\overline{X}=52$ が観測されたら、「母平均は本当に $50$ なのか?」と疑う根拠になる($5\%$ を切る珍しさ、が定番の基準)。確率の計算問題が、そのまま統計的判断の部品になっている。

母集団の分布が正規分布でなくても、$n$ が大きければ $\overline{X}$ の分布は正規分布に近づく(中心極限定理)。「平均をとると正規分布に均される」— 標本平均が統計学で特別扱いされる理由である。

別解

$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ という縮み方は、丸暗記でなく分散の足し算から導ける。

標本の合計 $T=X_1+\cdots +X_{100}$ を考える。各 $X_i$ の分散は $10^2=100$ で、無作為抽出なら互いに独立 — 独立な分散は足せるから

$$V(T)=100\times 100=10000$$

平均は $\overline{X}=\frac{T}{100}$。$1$ 次変換で分散は係数の $2$ 乗倍だから

$$V(\overline{X})=\frac{V(T)}{100^2}=\frac{10000}{10000}=1\sigma (\overline{X})=1$$

一般に $V(\overline{X})=\frac{n{\sigma }^2}{n^2}=\frac{{\sigma }^2}{n}$ — 分散は $\frac{1}{n}$ 倍、標準偏差は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 倍。「和で $n$ 倍に増えた分散を、$n$ で割る操作が $2$ 乗で効いて $n^2$ 分の $1$」 という綱引きの結果が $\sqrt{n}$ の正体だ。

$4$ 倍のデータで誤差半分、$100$ 倍でようやく $10$ 分の $1$ — 精度は標本数の平方根でしか改善しない。調査のコスト感覚として覚えておく価値がある。