信頼区間の幅と標本の大きさ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ふつうの推定は $n$ から幅を出す。この問題は逆で、幅の条件から $n$ を決める。

信頼区間の幅は $2\times 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$。まずこれを式で書く。

「幅を $4$ 以下に」を、$n$ についての不等式に翻訳する。

解いて出た値を超える最小の自然数が答えだ。信頼区間を逆から使って標本サイズを設計する。

① 幅の不等式を立てる。 幅 $\leqq 4$。

$$2\times 1.96\times \frac{10}{\sqrt{n}}\leqq 4$$

② $\sqrt{n}$ について解く。 左辺は $\frac{39.2}{\sqrt{n}}$。

$$\frac{39.2}{\sqrt{n}}\leqq 4\Rightarrow \sqrt{n}\geqq \frac{39.2}{4}=9.8$$

③ $n$ について解く。 両辺を $2$ 乗する。

$$n\geqq 9.8^2=96.04$$

④ 最小の自然数を選ぶ。 $n$ は $96.04$ 以上の最小の自然数。

$$n=97$$

まとめ:「幅を◯◯以下に」は、幅 $=2\times 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ の不等式を $n$ について解く。$\sqrt{n}$ を $2$ 乗する段階で $96.04$ が出るので、これを超える最小の整数 $97$ を選ぶ($96$ では幅がわずかに $4$ を超える)。

発展 — 一歩先へ。 この計算は、母標準偏差 $\sigma$ があらかじめ分かっているという前提に立っている。

だが現実には $\sigma$ も未知で、標本から推定することが多い。推定したぶんだけ不確かさが増える。

そのときは正規分布ではなく、少しすそが広い $t$ 分布という分布を使って区間を作る。標本が大きくなるほど、$t$ 分布は正規分布に近づいていく。

だから $n$ が大きい今回のような場合は、$\sigma$ を推定値で置きかえても、正規分布による見積もりでほぼ間に合う。

別解

別解 — $n=96$ と $n=97$ を直接あてはめて確かめる(苦手な人向けの確認ルート)。 不等式を解くのが不安なら、境目あたりの $n$ を実際に代入して幅を比べればよい。

幅は $\frac{2\times 1.96\times 10}{\sqrt{n}}=\frac{39.2}{\sqrt{n}}$。

$n=96$ のとき、$\sqrt{96}\approx 9.798$ で幅は $\frac{39.2}{9.798}\approx 4.001$。わずかに $4$ を超えてしまう。

$n=97$ のとき、$\sqrt{97}\approx 9.849$ で幅は $\frac{39.2}{9.849}\approx 3.980$。$4$ 以下におさまる。

だから条件を満たす最小の標本は $n=97$。不等式を解く本解と同じ答えだ。$96$ では届かず $97$ で足りる、という境目が数値で見える。