正規分布の標準化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正規分布は、平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ の組み合わせだけ、無数に存在する。

$N(50,10^2)$、$N(170,6^2)$、$N(0,1)$ $\dots$ すべて形は同じ釣鐘だが、位置と幅が違う。

確率の表を、無数の分布ぶん用意するわけにはいかない。

そこで、全部を $1$ つに揃える。

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

$2$ 段階の操作だ。

• $X-\mu$: 平均を引いて、中心を $0$ に移す
• $÷\sigma$: 標準偏差で割って、幅を $1$ に揃える

こうして、どんな正規分布も $N(0,1)$(標準正規分布)に変換できる。

$Z$ の意味は「平均から標準偏差いくつ分ズレているか」。 $Z=1$ なら「$1\sigma$ 分、上」ということだ。

$N(50,10^2)$ は平均 $\mu =50$、標準偏差 $\sigma =10$。$X=60$ を標準化する。

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{60-50}{10}=1$$

まとめ:標準化は「平均からどれだけ離れているかを、標準偏差を単位にして測る」。$Z=1$ は「平均より標準偏差 $1$ 個ぶん上」を意味する。どんな正規分布も標準化すれば $N(0,1)$ で扱える。

発展 — 一歩先へ。 標準化して得た $Z$ は、平均 $0$、分散 $1$ になる。これを確かめておこう。

期待値の性質から。

$$E(Z)=E\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=\frac{E(X)-\mu }{\sigma }=\frac{\mu -\mu }{\sigma }=0$$

分散の性質から。

$$V(Z)=V\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{{\sigma }^2}V(X)=\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2}=1$$

($\times \frac{1}{\sigma }$ は分散を $\frac{1}{{\sigma }^2}$ 倍にし、$-\mu$ は分散に効かない。)

きっちり $N(0,1)$ になった。

ここで、注意すべき落とし穴がある。

標準化は、どんな分布にもできる。 平均を引いて $\sigma$ で割るだけだから、二項分布でも一様分布でも、いびつな分布でもできる。

だが、「標準化したから正規分布になる」わけではない。

標準化がするのは「位置と幅を揃える」ことだけ。形は変わらない。

いびつな分布を標準化しても、いびつなまま平均 $0$、分散 $1$ になるだけだ。

だから、正規分布表を引けるのは、もとが正規分布のときだけ。

$$\text{正規分布}\stackrel{\text{標準化}}{\to }\text{標準正規分布}✓$$

$$\text{いびつな分布}\stackrel{\text{標準化}}{\to }\text{いびつなまま}(\text{表は引けない})$$

この区別を、混同してはいけない。

ただし — 救いがある。

中心極限定理により、「たくさんのデータの平均」や「たくさんの試行の和」は、もとがどんな分布でも正規分布に近づく。

だから実務では、標本平均を標準化して正規分布表を引く、という手順が正当化される。

二項分布 $B(100,0.2)$ を標準化して正規分布表を引けるのも、$n=100$ が十分大きいからだ($n$ が小さければ、この近似は使えない)。

「標準化」と「正規化」は違う。 前者は座標変換、後者は形そのものの話。この $2$ つを区別できると、統計の議論が正確になる。

別解

標準化の正体は、じつは「偏差値」である。

模試で誰もが見ている、あの偏差値だ。

偏差値の定義は、こうだ。

$$\text{偏差値}=50+10\times \frac{X-\mu }{\sigma }=50+10Z$$

$Z$(標準化した値)を $10$ 倍して、$50$ を足しただけ。

この問題に当てはめる。 平均 $50$ 点、標準偏差 $10$ 点のテストで、$60$ 点をとった。

$$Z=\frac{60-50}{10}=1$$

$$\text{偏差値}=50+10\times 1=60$$

偏差値 $60$ である。

なぜ $50$ と $10$ を使うのか。

$Z$ の値は $-2$ から $2$ くらいの小数になる。「あなたの $Z$ は $1.3$」と言われても、ピンとこない。

そこで、平均を $50$、標準偏差を $10$ に置き直す。 見慣れた $2$ 桁の数になり、直感的に扱える。

偏差値の分布を、読んでみよう。

• 偏差値 $50$ $=$ $Z=0$ $=$ ちょうど平均
• 偏差値 $60$ $=$ $Z=1$ $=$ 上位 約 $16\%$
• 偏差値 $70$ $=$ $Z=2$ $=$ 上位 約 $2.3\%$
• 偏差値 $40$ $=$ $Z=-1$ $=$ 下位 約 $16\%$

偏差値 $70$ は $50$ 人に $1$ 人ちょっと — なるほど、と思える。

大事なのは「点数では比べられないものが、比べられる」ことだ。

数学 $60$ 点(平均 $50$、$\sigma =10$)と、国語 $70$ 点(平均 $65$、$\sigma =20$)。どちらがよくできたか。

点数だけ見れば、国語の $70$ 点が上に見える。

標準化する。

$$Z_{\text{数学}}=\frac{60-50}{10}=1.0Z_{\text{国語}}=\frac{70-65}{20}=0.25$$

数学のほうが、圧倒的によくできている。(偏差値 $60$ 対 偏差値 $52.5$)

難しいテストと簡単なテスト、$100$ 点満点と $200$ 点満点 — 標準化すれば、すべて同じ土俵に乗る。

$Z$ は「単位のない世界」の言葉なのだ。

同じ発想は、あちこちで使われている。

• IQ: 平均 $100$、標準偏差 $15$ に揃えた $Z$ スコア
• 株の評価: 業種の違う会社を、平均からのズレで比べる
• 異常検知: $|Z|>3$ なら「異常値」と判定する

「そのままでは比べられないものを、比べられるようにする」 — 標準化は、その普遍的な技術である。