数学B / 統計的な推測

戻さずに取り出すと何が変わるか(有限母集団修正)

最難関編標本平均共分散非復元抽出

問題

大きさ $N$ の母集団( $N$ 個の値からなる)の母平均を $m$ 、母分散を $σ^{2}$ とする。この母集団から $k$ 個( $1 \leq k \leq N$ )を非復元(取り出したら戻さない)で無作為に取り出し、その値を $X_{1}, \dots, X_{k}$ 、平均を $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{k} i = 1 \sum k X_{i}$ とする。

(1) どの $i$ についても $E (X_{i}) = m$ 、 $V (X_{i}) = σ^{2}$ である理由を説明せよ。

(2) $i \neq = j$ のとき、 $X_{i}$ と $X_{j}$ の共分散が $- \frac{σ ^{2}}{N - 1}$ であることを示せ(ヒント: $k = N$ として全部取り出すと、 $X_{1} + \dots + X_{N}$ は定数である)。

(3) $V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{k} \cdot \frac{N - k}{N - 1}$ を示せ。

(4) 母集団 ${1, 2, 3, 4, 5}$ から $k = 2$ 個を取り出すときの $V (\overset{ˉ}{X})$ を求めよ。

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戻さないと、先に引いた値が次に引ける値に影響する。 $X_{i}$ と $X_{j}$ は独立か。

(2) 全部取り出したときの和は何か。その分散は。

解答・解説

方針

非復元では $X_{i}$ どうしが独立でないので、共分散の項が効く。その共分散は「全部取り出せば和は定数(分散 $0$ )」という事実から逆算できる。あとは $V (\overset{ˉ}{X})$ の展開に代入するだけ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 復元抽出なら $V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{k}$ である。では戻さない場合はどうなるか。

直感的には、戻さないほうがばらつきは小さくなるはずだ。極端な話、 $k = N$ (全部取る)なら標本平均は必ず母平均に一致し、ばらつきは $0$ になる。

その「 $0$ になる」という事実こそが、共分散を求める鍵である。全部取り出したときの和は定数( $N m$ )だから、その分散は $0$ 。分散を分解すれば、共分散が負の値として決まってしまう。

意味を考えれば当然だ。1つ大きい値を引けば、残りには小さい値が多く残る。だから $X_{i}$ と $X_{j}$ は互いに引っぱり合う — 共分散が負になるのである。

公式

V (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n V (X_{i}) + i \neq = j \sum Cov (X_{i}, X_{j})

① (1) どの1つも母集団と同じ分布。 $i$ 番目に取り出される値を考える。無作為に取り出すのだから、母集団のどの値も、 $i$ 番目に来る確率は等しく $\frac{1}{N}$ である( $i$ が何番目かによらない)。

したがって $X_{i}$ の分布は母集団の分布そのもので

$E (X_{i}) = m, V (X_{i}) = σ^{2}$

② (2) 全部取ると和は定数。 $k = N$ とすると、取り出した値の集まりは母集団そのものだから、和は必ず

$X_{1} + X_{2} + \dots + X_{N} = N m$

これは定数である。定数の分散は $0$ だから

$V (X_{1} + \dots + X_{N}) = 0$

左辺を分解する。対称性からどの2つの共分散も同じ値 $c$ をとる。 $V (X_{i}) = σ^{2}$ が $N$ 個、共分散の項は $i \neq = j$ の順序対の個数 $N (N - 1)$ 個あるので

$N σ^{2} + N (N - 1) c = 0 ⟹ c = - \frac{σ ^{2}}{N - 1}$

負である。1つ大きい値を引けば、残りは小さい値に偏る — その引っぱり合いが、この負の共分散だ。

③ (3) 標本平均の分散。 $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{k} i = 1 \sum k X_{i}$ だから

$V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{1}{k ^{2}} V (i = 1 \sum k X_{i}) = \frac{1}{k ^{2}} {k σ^{2} + k (k - 1) (- \frac{σ ^{2}}{N - 1})}$

( $k$ 個の中の順序対は $k (k - 1)$ 個ある。) $\frac{σ ^{2}}{k}$ でくくると

$V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{k} (1 - \frac{k - 1}{N - 1}) = \frac{σ ^{2}}{k} \cdot \frac{( N - 1 ) - ( k - 1 )}{N - 1} = \frac{σ ^{2}}{k} \cdot \frac{N - k}{N - 1}$

④ (4) 数値で確かめる。 母集団 ${1, 2, 3, 4, 5}$ の母平均は $m = 3$ 、母分散は

$σ^{2} = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2$

$N = 5, k = 2$ だから

$V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{2}{2} \cdot \frac{5 - 2}{5 - 1} = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

復元抽出なら $\frac{σ ^{2}}{k} = 1$ だったので、戻さないほうがばらつきは小さい。

まとめ: 非復元抽出では、取り出した値どうしがわずかに負の相関を持つ。そのぶん標本平均のばらつきは小さくなる。 $\frac{N - k}{N - 1}$ という因子(有限母集団修正)が、それを表している。検算もしやすい。 $k = 1$ なら $σ^{2}$ 、 $k = N$ なら $0$ で、どちらも当然の値になる。

発展 — 一歩先へ。 世論調査を考えよう。 $1$ 億人の有権者から $2000$ 人を選ぶとき、 $\frac{N - k}{N - 1}$ はほとんど $1$ である。だから修正因子は効かず、 $V (\overset{ˉ}{X}) \approx \frac{σ ^{2}}{k}$ になる。

つまり、精度を決めるのは標本の大きさ $k$ だけで、母集団の大きさ $N$ はほとんど関係がない。「 $1$ 億人を調べるのに $2000$ 人で足りるのか」という素朴な疑問への答えがここにある。 $1$ 億人だろうが $1$ 万人だろうが、 $2000$ 人調べたときの精度はほぼ同じなのだ。

逆に、 $k$ が $N$ に近い調査ではこの修正が大きく効く。 $50$ 人のクラスから $40$ 人を選ぶなら $\frac{N - k}{N - 1} = \frac{10}{49} \approx 0.2$ で、ばらつきは復元抽出の $2$ 割ほどにまで縮む。ほとんど全員に聞いているのだから、当然といえば当然である。

答

(1) $i$ 番目に取り出される値は、どの値も等しく確率 $\frac{1}{N}$ でとるから、分布は母集団と同じ (2) $V (X_{1} + \dots + X_{N}) = 0$ を分解する (3) $V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{1}{k ^{2}} {k σ^{2} + k (k - 1) (- \frac{σ ^{2}}{N - 1})}$ (4) $\frac{3}{4}$

別解

小さい例を総当たりして確かめる(苦手な人向け)。 (4)の場合を、公式を使わずに全部書き出してみよう。

${1, 2, 3, 4, 5}$ から $2$ 個を選ぶ方法は $(2 5) = 10$ 通り。それぞれの平均は

$1.5, 2, 2.5, 3, 2.5, 3, 3.5, 3.5, 4, 4.5$

である(順に ${1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}$ に対応する)。

この $10$ 個の平均は $\frac{30}{10} = 3$ で、確かに母平均 $3$ に一致する(不偏性)。分散は

$\frac{( - 1.5 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 0.5 ) ^{2} + 0 ^{2} + ( - 0.5 ) ^{2} + 0 ^{2} + 0. 5 ^{2} + 0. 5 ^{2} + 1 ^{2} + 1. 5 ^{2}}{10} = \frac{7.5}{10} = \frac{3}{4}$

公式の値 $\frac{σ ^{2}}{k} \cdot \frac{N - k}{N - 1} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ と一致した。

ついでに復元抽出と比べてみる。復元なら $\frac{σ ^{2}}{k} = 1$ だから、非復元の $\frac{3}{4}$ より大きい。理由もはっきりしている。復元だと ${1, 1}$ や ${5, 5}$ のような極端な組が起こりうるが、非復元では同じ値を2回引けないので、平均が極端になりにくいのだ。

公式が本当かどうか怪しいときは、小さい例で総当たりする。手は動くが、確信が得られる。複雑な公式ほど、この習慣が効いてくる。

ポイント

非復元では $X_{i}$ どうしが独立でない。共分散の項が要る。
全部取ると和は定数( $V = 0$ )。ここから共分散 $- \frac{σ ^{2}}{N - 1}$ が逆算できる。
$V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{k} \cdot \frac{N - k}{N - 1}$ 。 $k = N$ で $0$ 、 $k = 1$ で $σ^{2}$ 。

よくある間違い

非復元でも $V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{k}$ だと思ってしまう。これは復元抽出(または母集団が非常に大きい場合)の式である。有限の母集団から戻さずに取るときは $\frac{N - k}{N - 1}$ を掛ける。
(2)で「 $X_{i}$ と $X_{j}$ は独立だ」と思い込む。戻さないのだから、先に引いた値は次に引ける値に影響する。独立ではないし、共分散も $0$ ではない。
$V (\overset{ˉ}{X})$ を求めるときに $\frac{1}{k ^{2}}$ を掛け忘れる。 $\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{k} \sum X_{i}$ だから $V (\overset{ˉ}{X}) = \frac{1}{k ^{2}} V (\sum X_{i})$ である。