標本平均の期待値と標準偏差

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 母集団から $25$ 人選んで、その平均をとる。この「標本平均」$\overline{X}$ 自体が、確率変数だ。

誰を選ぶかで値が変わるからである。

では、$\overline{X}$ はどんな性質をもつか。

中心は動かない。

$$E(\overline{X})=\mu =50$$

偏りなく選んでいるのだから、平均的には母平均のあたりに落ち着く。 これは直感どおりだ。

バラつきは、小さくなる。

$$\sigma (\overline{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{5}=2$$

$1$ 人だけ選べば $\pm 10$ も揺れるが、$25$ 人の平均なら $\pm 2$ しか揺れない。

「多くを平均すると、極端な人どうしが打ち消し合う」 — これが $\sqrt{n}$ で割る理由の直感である。

中心はそのまま、幅だけ縮む。 これが推測統計のすべての土台になる。

① 期待値。 母平均に等しい。

$$E(\overline{X})=\mu =50$$

② 標準偏差。 母標準偏差を $\sqrt{n}$ で割る。$n=25$。

$$\sigma (\overline{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$$

まとめ:標本平均の平均は母平均そのもの。ただしバラつき(標準偏差)は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ に縮む。標本を多く取るほど、標本平均は母平均の近くに集中する、というのが推定の土台だ。

発展 — 一歩先へ。 $\sigma (\overline{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ という式は、世論調査の設計図そのものだ。

よくある疑問。

「$1$ 億人の国民の意見を、たった $1000$ 人に聞いて分かるのか?」

答えは、分かる。 しかも、母集団の大きさは、ほとんど関係ない。

式を見てほしい。

$$\sigma (\overline{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

分母にあるのは $n$(標本の大きさ)だけ。 母集団の人数 $N$ は、どこにも出てこない。

$1$ 億人でも $1$ 万人でも、$1000$ 人に聞けば同じ精度。

これは直感に反する。 だが、正しい。

スープの味見に例えられる。 大鍋でも小鍋でも、よくかき混ぜてあれば、スプーン $1$ 杯で味は分かる。 鍋の大きさは関係ない。大事なのは「よくかき混ぜる」(無作為抽出)ことだけだ。

具体的に計算してみよう。

内閣支持率の調査。 支持する人の割合 $p$ を推定する。$1$ 人あたりの分散は $p(1-p)\leqq \frac{1}{4}$。

$n=1000$ 人なら

$$\sigma (\overline{X})\leqq \frac{1/2}{\sqrt{1000}}\approx 0.0158$$

$2\sigma$ の幅で見れば、誤差は約 $\pm 3\%$。

「支持率 $45\%$($\pm 3\%$)」 — ニュースで見るこの数字は、まさにこの計算から出ている。

$10000$ 人に増やしたら?

$$\frac{1/2}{\sqrt{10000}}=0.005⟹\pm 1\%$$

$10$ 倍の人数をかけて、誤差は $3$ 分の $1$。 費用対効果が急激に悪くなる。

だから、多くの調査が $1000$ 〜 $2000$ 人で止まる。 $\pm 3\%$ の精度があれば、実用上は十分だからだ。

ただし、絶対に外してはいけない前提がある。

「無作為抽出」である。

スープをかき混ぜずに、上澄みだけすくったら? 味は分からない。

歴史的な大失敗がある。 $1936$ 年のアメリカ大統領選で、ある雑誌は $230$ 万人という巨大な調査を行い、ランドンの勝利を予測した。結果はルーズベルトの圧勝。

原因は、電話帳と自動車登録名簿から標本を選んだこと。 当時、電話と車を持てたのは富裕層だけだった。標本が偏っていたのだ。

同じ年、ギャラップは、わずか $5$ 万人の"正しく選ばれた"標本で、勝者を的中させた。

$230$ 万の偏った標本より、$5$ 万の無作為な標本のほうが正確。

$n$ を増やしても、偏りは消えない。 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ という式が保証するのは、「正しく選んだ場合の」精度だけなのだ。

別解

なぜ $\sqrt{n}$ で割るのか。分散の性質から導いてみる。

「$\sqrt{n}$ で割る」は覚えにくい。だが、導いてしまえば忘れない。

標本平均を、式で書く。

$$\overline{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$

$X_i$ は、$i$ 番目に選ばれた人の値。 どれも母集団から無作為に選ぶので、それぞれが $E(X_i)=\mu$、$V(X_i)={\sigma }^2$ をもつ。

まず期待値。 期待値は足し算を素通りする。

$$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\left\{E(X_1)+\cdots +E(X_n)\right\}=\frac{1}{n}\cdot n\mu =\mu$$

$n$ に関係なく、$\mu$ のまま。

次が本題の分散だ。 ここで $2$ つの性質を使う。

性質 $1$: $V(aX)=a^{2}V(X)$($\frac{1}{n}$ 倍すると、分散は $\frac{1}{n^2}$ 倍)

性質 $2$: 独立なら $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$(分散は足せる)

$$V(\overline{X})=V\left(\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2}V(X_1+\cdots +X_n)$$

$$=\frac{1}{n^2}\left\{V(X_1)+\cdots +V(X_n)\right\}=\frac{1}{n^2}\cdot n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

$$\boxed{V(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}⟹\sigma (\overline{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$$

 ​ が出てくる理由が見えた。 分散が $\frac{1}{n}$ になるので、その平方根である標準偏差は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ になる。

この問題に当てはめる。

$$V(\overline{X})=\frac{10^2}{25}=4⟹\sigma (\overline{X})=2✓$$

サイコロで確かめてみよう。

$1$ 個の目の分散は $\frac{35}{12}\approx 2.92$。

$2$ 個振って平均をとると、その平均の分散は — $36$ 通りすべてを調べると、ちょうど

$$\frac{35/12}{2}=\frac{35}{24}\approx 1.46$$

きっちり半分になる。 理論どおりだ。

この式が意味すること。

精度を $2$ 倍にしたい($\sigma$ を半分にしたい)なら、$\sqrt{n}$ を $2$ 倍にする必要がある。

$$n\to 4n$$

標本を $4$ 倍集めて、やっと精度は $2$ 倍。

$10$ 倍の精度が欲しければ、$100$ 倍のデータが要る。

これが統計調査のコストを決めている。 世論調査で誤差を半分にするには、費用が $4$ 倍かかるのだ。

「たくさん集めれば精度は上がる。ただし、上がり方はゆっくり」 — $\sqrt{n}$ の法則は、恩恵と制約を同時に語っている。