数学B / 統計的な推測

確率分布から期待値・分散・変換

★★★★ 難関確率変数期待値分散変換

問題

確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられている。

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$
確率	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$

$E (X)$ 、 $V (X)$ を求め、さらに $Y = 3 X + 2$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。

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$E (X)$ は $\sum (値 \times 確率)$ 。 $V (X)$ は「 $2$ 乗の期待値 $-$ 期待値の $2$ 乗」。 $1$ 次式変換 $Y = 3 X + 2$ の分散は係数の $2$ 乗倍。

解答・解説

方針

$E (X) = \sum x p$ 、 $E (X^{2}) = \sum x^{2} p$ を計算し、 $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ 。 $Y = 3 X + 2$ の分散は $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ より $9 V (X)$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず期待値と分散を、表から素直に計算する。

期待値 $E (X)$ は「値 × 確率」の総和。分散 $V (X)$ は「 $2$ 乗の期待値 $-$ 期待値の $2$ 乗」で出すのが速い。

だから $E (X)$ と $E (X^{2})$ を表から求め、 $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ とする。

最後の $Y = 3 X + 2$ は $1$ 次式変換。分散は定数 $+ 2$ には影響されず、係数 $3$ の $2$ 乗倍になる、と見通す。

公式

E (X) = \sum x p

、

V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}

、

V (a X + b) = a^{2} V (X)

① 期待値。

$E (X) = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.4 = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3$

② $2$ 乗の期待値と分散。

$E (X^{2}) = 1 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.2 + 9 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.4 = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10$ $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = 10 - 3^{2} = 1$

③ 変換後の分散。 $Y = 3 X + 2$ より

$V (Y) = 3^{2} V (X) = 9 \cdot 1 = 9$

確率分布(0.1,0.2,0.3,0.4)。E(X)=3, V(X)=1

まとめ:分散は「 $2$ 乗の期待値 $-$ 期待値の $2$ 乗」で計算するのが速い。 $1$ 次式変換 $a X + b$ では、定数 $b$ は散らばりに無関係で、分散は $a^{2}$ 倍( $V (3 X + 2) = 9 V (X)$ )。標準偏差なら $∣ a ∣$ 倍。

発展 — 一歩先へ。 $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ の $2$ つの部分には、それぞれ意味がある。定数 $b$ を足すのは分布を横にずらすだけで、散らばりは変わらないから $b$ は消える。

係数 $a$ を掛けると、各データの平均からのずれも $a$ 倍になる。分散はそのずれの $2$ 乗の平均だから、 $a^{2}$ 倍になる。標準偏差なら $∣ a ∣$ 倍だ。

この考えを突き詰めると、 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ という標準化にたどり着く。平均を引いて標準偏差で割ると、平均 $0$ ・分散 $1$ にそろう。どんな分布も同じ物差しで比べられるようになる。

答

$E (X) = 3$ 、 $V (X) = 1$ 、 $V (Y) = 9$

別解

別解 — 分散の定義式で計算する(意味から確かめるルート)。 分散は本来「平均からのずれの $2$ 乗の平均」。定義そのままでも同じ値が出る。

平均は $E (X) = 3$ 。各値の「 $3$ からのずれ」を $2$ 乗して、確率で重みづけする。

$V (X) = (1 - 3)^{2} \cdot 0.1 + (2 - 3)^{2} \cdot 0.2 + (3 - 3)^{2} \cdot 0.3 + (4 - 3)^{2} \cdot 0.4.$

計算すると $4 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.2 + 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.4 = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1$ 。

「 $2$ 乗の期待値 $-$ 期待値の $2$ 乗」で出す本解と同じ $V (X) = 1$ 。定義式は計算がやや長いが、「分散 $=$ 散らばりの平均」という意味がそのまま見えるのが利点。平均 $3$ のちょうど真ん中の値 $3$ ではずれが $0$ 、両端でずれが大きい、という重みも読み取れる。

ポイント

$E (X) = 3$ 、 $E (X^{2}) = 10$ 、 $V (X) = 10 - 9 = 1$ 。
$V (3 X + 2) = 3^{2} V (X) = 9$ 。

よくある間違い

$V (X)$ を $E (X^{2}) - E (X)$ とし、引くのを期待値の $2$ 乗でなく $1$ 乗にする。
$V (3 X + 2)$ を $3 V (X)$ や $3 V (X) + 2$ とし、係数の $2$ 乗倍・定数無関係を誤る。
$E (X^{2})$ を ${E (X)}^{2} = 9$ と混同する(各値を $2$ 乗してから確率を掛ける)。