数学B / 統計的な推測

正規分布の応用(標準化)

★★★ 応用正規分布

問題

ある試験の得点 $X$ は正規分布 $N (100, 2 0^{2})$ に従う。得点が $130$ 点以上の受験者は全体の何 $%$ か。ただし $P (0 ≦ Z ≦ 1.5) = 0.4332$ とする。

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得点を標準化して、表の値と『全体の半分』の関係から右すその確率を出す。最後に百分率へ直すのを忘れずに。

解答・解説

$X = 130$ を標準化して $Z$ に直し、右のすそ野の確率 $P (Z ≧ z)$ を求める。それを百分率にする。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $130$ 点以上は何 %か」は、割合を問う問題だ。

正規分布では、割合はすそ野の面積(確率)にあたる。

そこで $X = 130$ を標準化し、右のすそ野の確率 $P (Z ≧ z)$ を求める。

最後にそれを百分率へ直す。標準化して面積を読み % にする、という実用的な使い方だ。

重要標準化して右すそ

P (Z ≧ z) = 0.5 - (表の値)

、最後に百分率に

① 標準化する。 $N (100, 2 0^{2})$ 、 $μ = 100$ 、 $σ = 20$ 。

$Z = \frac{130 - 100}{20} = 1.5$

② 右すその確率を求める。

$P (X ≧ 130) = P (Z ≧ 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668$

③ 百分率にする。

$0.0668 = 6.68%$

N(100,20²)を標準化。Z≧1.5 の右すそ 0.5−0.4332=0.0668

まとめ:「◯点以上は何 $%$ 」は、標準化して右すその面積を出し、 $100$ 倍する。 $130$ 点は平均より標準偏差 $1.5$ 個ぶん上で、上位約 $6.7%$ にあたる、と読める。

発展 — 一歩先へ。 正規分布には、覚えておくと見当がつく目安がある。平均から標準偏差 $\pm 1$ 個ぶんの中に約 $68%$ 、 $\pm 2$ 個ぶんに約 $95%$ 、 $\pm 3$ 個ぶんに約 $99.7%$ が入る。

これを使うと、いちいち表を引かなくても大きさが読める。 $130$ 点は平均より標準偏差 $1.5$ 個ぶん上。 $+ 1$ 個ぶんより外(上位約 $16%$ )と、 $+ 2$ 個ぶんより外(上位約 $2.3%$ )の中間にあたる。

実際の $6.68%$ は、この $16%$ と $2.3%$ のちょうど間におさまっている。答えの桁を取り違えていないかの見当づけに使える。

答

約 $6.68%$

別解 — 偏差値に読みかえる(苦手な人向けの身近な視点)。 標準化した値 $Z$ は、試験で見慣れた偏差値と同じものだ。偏差値は $50 + 10 Z$ で定義される。

$130$ 点は $Z = \frac{130 - 100}{20} = 1.5$ だから、偏差値は $50 + 10 \times 1.5 = 65$ 。

偏差値 $65$ とは、平均より標準偏差 $1.5$ 個ぶん上の位置。その上側の割合は、標準化して右すそを読むのと同じ計算で

$0.5 - 0.4332 = 0.0668, すなわち 6.68%.$

$Z$ のまま解く本解と同じ $6.68%$ 。「偏差値 $65$ は上位約 $6.7%$ 」という、模試でおなじみの数字と一致する。標準化が偏差値そのものだと分かると、正規分布がぐっと身近になる。