二項分布の確率

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 硬貨 $4$ 回で表がちょうど $2$ 回。これは反復試行の確率(数A)そのものだ。

確率変数の言葉に翻訳すると、表の回数 $X$ は二項分布 $B\left(4,\frac{1}{2}\right)$ に従う。

「二項分布の確率」と「反復試行の確率」は、同じものである。 名前が違うだけだ。

式の $3$ つの部分を、意味で読む。

$$P(X=k)=\underset{\text{どの回に出るか}}{\underbrace{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}}\times \underset{\text{表 k 回分}}{\underbrace{p^k}}\times \underset{\text{裏 n−k 回分}}{\underbrace{q^{n-k}}}$$

$4$ 回のうちどの $2$ 回が表かの選び方が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)$、その $1$ パターンが起こる確率が ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$。

「場合の数 $\times$ $1$ パターンの確率」 — これが反復試行の骨格である。

表の回数 $X$ は $B\left(4,\frac{1}{2}\right)$。$k=2$ を代入する。

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\frac{1}{2}{)}^2\right(\frac{1}{2}{)}^2=6\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$

まとめ:「$n$ 回中ちょうど $k$ 回」の確率は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ は「どの回で起こるかの組合せ」、$p^k{q}^{n-k}$ は「その $1$ パターンの確率」だ。

発展 — 一歩先へ。 硬貨 $4$ 回の分布は、$1,4,6,4,1$ という山の形をしていた。

投げる回数を増やすと、この山はどうなるか。

$10$ 回なら、通り数は

$$1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1$$

真ん中が高く、両すそが低い、なめらかな山。

$100$ 回なら? $1000$ 回なら?

回数を増やすほど、この山は"あの曲線"に近づいていく。

正規分布の釣鐘曲線だ。

$$B(n,p)\stackrel{n\text{ が大きい}}{\to }N(np,npq)$$

これをド・モアブル–ラプラスの定理という($1733$ 年、ド・モアブルが硬貨投げの計算を楽にしようとして発見した)。

離散的な二項分布(棒グラフ)が、連続的な正規分布(なめらかな曲線)に化ける。

この事実の意味は、途方もなく大きい。

二項分布の計算は、$n$ が大きいと絶望的になる。

$$P(X=500)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{500}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{1000}$$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{500}\right)$ は $300$ 桁の数だ。 手計算はもちろん、電卓でも溢れる。

だが正規分布で近似すれば、標準化して表を引くだけで済む。

そして、話はもっと深いところへ続く。

中心極限定理。

「どんな分布から取ってきたデータでも、たくさん足し合わせれば、その和は正規分布に近づく」

元がサイコロでも、コイン投げでも、いびつな分布でも構わない。 足し合わせれば、必ず釣鐘の形になる。

だから、世の中は正規分布だらけなのだ。

• 身長: 無数の遺伝子と環境要因の"足し算"
• 測定誤差: 無数の小さな誤差の"足し算"
• 株価の変動: 無数の取引の"足し算"

細かい原因が山ほど足し合わされると、結果は釣鐘になる。

硬貨を $4$ 回投げる素朴な問題の先に、「なぜ世界は正規分布に満ちているのか」という答えが待っている。

別解

公式を使わず、$16$ 通りを全部書き出す。

$4$ 回投げたときの結果は、$2^4=16$ 通り。 全部書けてしまう数だ。

表を H、裏を T として、表が $2$ 回のものを探す。

• HHTT
• HTHT
• HTTH
• THHT
• THTH
• TTHH

$6$ 通り。

$16$ 通りはすべて同じ確率($\frac{1}{16}$ ずつ)だから

$$P(X=2)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$

公式と同じ答え ✓

この「$6$ 通り」の正体が、二項係数だ。

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$$

「$4$ 回のうち、どの $2$ 回を表にするか」の選び方が $6$ 通り。公式の $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)$ は、この数え上げをしていたのである。

表の回数ごとに、全部数えてみよう。

$$\begin{array}{ccc}\text{表の回数}& \text{通り数}& \text{確率}\\ 0& 1& 1/16\\ 1& 4& 4/16\\ 2& 6& 6/16\\ 3& 4& 4/16\\ 4& 1& 1/16\end{array}$$

通り数は $1,4,6,4,1$。 合計 $16$ ✓

この数の並びに、見覚えはないか。

パスカルの三角形の $4$ 段目だ。

$$\begin{array}{c}1\\ 11\\ 121\\ 1331\\ 14641\end{array}$$

二項分布の"形"は、パスカルの三角形そのものである。

そして、この分布は左右対称で、真ん中($2$ 回)がいちばん高い。

「ちょうど半分」がもっとも出やすい — 硬貨を $4$ 回投げたら、表 $2$ 回がいちばんありそうだ、という直感と合う。

書き出しの価値。

$16$ 通りなら書ける。だが $100$ 回投げたら $2^{100}$ 通りで、宇宙の原子の数を超える。

書き出せない大きさになったとき、公式が要る。 公式は「書き出しの結果を、一発で計算する装置」なのだ。

小さい場合で書き出して、公式と合うことを確かめる。 これが公式を信じられるようになる、いちばん確実な道である。