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数学III

積分法の応用 面積・体積・曲線の長さ

曲線で囲まれた面積、回転体・非回転体の体積、曲線の長さ、速度と道のりを扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 面積(指数関数と x 軸)
  2. 面積(1/x と x 軸)
  3. 面積(sin と x 軸)
  4. 2曲線間の面積(指数)
  5. 回転体の体積(直線)
  6. 回転体の体積(放物線)
  7. 区分求積法
  8. 速度と道のり
  9. 面積(cos と x 軸)
  10. 面積(放物線と x 軸)
  11. 回転体の体積(放物線²)
  12. 面積(e^{-x} と x 軸)

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 2曲線間の面積(指数)
  2. 面積(log x と x 軸)
  3. 回転体の体積(指数)
  4. 回転体の体積(sin)
  5. 区分求積法(1/(1+x))
  6. 区分求積法(√)
  7. 2曲線間の面積(三角関数)
  8. 面積(x e^{-x} と x 軸)
  9. 回転体の体積(2曲線)
  10. 道のりと変位
  11. 面積(1/x²)
  12. 曲線の長さ

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 2曲線間の面積(放物線と無理関数)
  2. 回転体の体積(√sin)
  3. 区分求積法(1/(1+x²))
  4. 曲線の長さ(懸垂線)
  5. 回転体の体積(2曲線・中空)
  6. 道のりと変位(三角関数)
  7. 面積(1/(1+x²) と x 軸)
  8. 球の体積

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 2曲線で囲まれた面積(指数関数)
  2. x軸のまわりの回転体の体積
  3. 2曲線の間の回転体(中空)
  4. y軸のまわりの回転体
  5. 曲線の長さ(懸垂線)
  6. 速度と道のり・変位
  7. 断面積による体積(非回転体)
  8. サイクロイドの面積

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 3つの一様乱数が単位球に入る確率(積分と確率)
  2. 積分に n を掛けた極限(端に集まる質量)
  3. 平方根の逆数の和の漸近(積分ではさむ)
  4. 回転体の体積を左右で等しく分ける(広義積分)
  5. 指数関数を極限で作る積分(e への収束)
  6. 断面が正三角形の立体の体積(非回転体)
  7. ドーナツ形(トーラス)の体積(回転体と幾何)
  8. 正弦曲線が囲む図形の重心(積分と重心)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. tanⁿx の積分漸化式と漸近
  2. 重みつき積分の対称化
  3. 直交する2つの円柱の共通部分
  4. 絶対値つき積分の最小化
  5. 積分方程式(未知関数を求める)
  6. 対数×余弦の曲線の長さ
  7. 区分求積で円が現れる和
  8. 対数曲線の領域の y軸回転

積分法の応用の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問