積分法の応用 — 面積・体積・曲線の長さ

曲線 $y=e^x$ と $x$ 軸、および $2$ 直線 $x=0$、$x=1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=\frac{1}{x}$ と $x$ 軸、および $2$ 直線 $x=1$、$x=e$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=\sin x$ と $x$ 軸で囲まれた、$0\leqq x\leqq \pi$ の部分の面積を求めよ。

$0\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $y=e^x$ と直線 $y=1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

直線 $y=x$ と $x$ 軸、および直線 $x=1$ で囲まれた三角形を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体(円錐)の体積を求めよ。

曲線 $y=\sqrt{x}$ と $x$ 軸、および直線 $x=1$ で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}$ を、定積分を用いて求めよ。

数直線上を動く点の速度が $v=t$($t\geqq 0$)で表される。時刻 $t=0$ から $t=2$ までに動いた道のりを求めよ。

曲線 $y=\cos x$ と $x$ 軸で囲まれた、$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ の部分の面積を求めよ。

曲線 $y=x^2-1$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=x^2$ と $x$ 軸、および直線 $x=1$ で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

曲線 $y=e^{-x}$ と $x$ 軸、および $2$ 直線 $x=0$、$x=1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

$0\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $y=e^x$ と $y=e^{-x}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸、および直線 $x=e$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=e^x$ と $x$ 軸、および $2$ 直線 $x=0$、$x=1$ で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

曲線 $y=\sin x$($0\leqq x\leqq \pi$)と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ を、定積分を用いて求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$ を、定積分を用いて求めよ。

$\frac{\pi }{4}\leqq x\leqq \frac{5\pi }{4}$ において、曲線 $y=\sin x$ と $y=\cos x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=x{e}^{-x}$ と $x$ 軸、および直線 $x=1$ で囲まれた部分($0\leqq x\leqq 1$)の面積を求めよ。

$0\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $y=x$ と $y=x^2$ で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

数直線上を動く点の速度が $v=t-1$ で表される。時刻 $t=0$ から $t=2$ までの、変位と道のりをそれぞれ求めよ。

曲線 $y=\frac{1}{x^2}$ と $x$ 軸、および $2$ 直線 $x=1$、$x=2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$($0\leqq x\leqq 3$)の長さを求めよ。

$0\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $y=\sqrt{x}$ と $y=x^2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=\sqrt{\sin x}$($0\leqq x\leqq \pi$)と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ を、定積分を用いて求めよ。

曲線 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$($0\leqq x\leqq 1$)の長さを求めよ。

$0\leqq x\leqq 1$ において、曲線 $y=\sqrt{x}$ と $y=x^2$ で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

数直線上を動く点の速度が $v=\sin t$ で表される。時刻 $t=0$ から $t=2\pi$ までの、変位と道のりをそれぞれ求めよ。

曲線 $y=\frac{1}{1+x^2}$ と $x$ 軸、および $2$ 直線 $x=0$、$x=1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

半円 $y=\sqrt{1-x^2}$($-1\leqq x\leqq 1$)を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体(半径 $1$ の球)の体積を求めよ。

$2$ つの曲線 $y=e^x$、$y=e^{-x}$ と直線 $x=1$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

曲線 $y=\sqrt{x}$($0\le x\le 4$)と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

$2$ つの曲線 $y=x$ と $y=x^2$ で囲まれた部分($0\le x\le 1$)を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

曲線 $y=x^2$($0\le x\le 2$)と直線 $y=4$ で囲まれた部分を、$y$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

曲線 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ の $0\le x\le 1$ の部分の長さを求めよ。

数直線上を動く点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$($0\le t\le 3$)における速度が $v=t-1$ である。$t=0$ から $t=3$ までの $\mathrm{P}$ の位置の変化(変位)と、$\mathrm{P}$ が実際に動いた道のりを、それぞれ求めよ。

底面が円 $x^2+y^2\le 1$ である立体があり、$x$ 軸に垂直な平面で切った切り口はつねに正方形である。この立体の体積を求めよ。

媒介変数 $t$ で $x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$($0\le t\le 2\pi$)と表される曲線(サイクロイド)と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

$X,Y,Z$ を、区間 $[0,1]$ から互いに独立に一様に選ぶ。$X^2+Y^2+Z^2\le 1$ となる確率を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ を求めよ。

$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ とする。$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ を求めよ。

曲線 $y=e^{-x}$($x\ge 0$)と $x$ 軸のあいだの部分を、直線 $x=a$($a>0$)で左右に分ける。左側($0\le x\le a$)と右側($x\ge a$)を、それぞれ $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積が等しくなる $a$ を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx$ を求めよ。

底面が半径 $1$ の円である立体があり、底面に垂直な平面での切り口(底面の弦を1辺とする)がつねに正三角形であるとする。この立体の体積を求めよ。

$b>a>0$ とする。中心 $(b,0)$、半径 $a$ の円板を $y$ 軸のまわりに1回転してできるドーナツ形(トーラス)の体積を求めよ。

曲線 $y=\sin x$($0\le x\le \pi$)と $x$ 軸で囲まれた図形の重心の $y$ 座標を求めよ。

$I_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}xdx$($n=0,1,2,\dots$)とおく。

(1) $n\ge 2$ のとき $I_n+I_{n-2}=\frac{1}{n-1}$ を示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=0$ を示せ。

(3) $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$ を求めよ。

(1) 連続な関数 $g(t)$ に対して、置換 $x=\pi -t$ を用いて次の等式を示せ。

$${\int }_0^{\pi }xg(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }g(\sin x)dx$$

(2) ${\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$ を求めよ。

半径1の2つの直円柱があり、その中心軸は直交している。2つの円柱の共通部分の体積を求めよ。

$a$ を $1\le a\le e$ を満たす実数とする。

$$S(a)={\int }_0^1\left|e^x-a\right|dx$$

を最小にする $a$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

連続な関数 $f(x)$ が

$$f(x)=\sin x+{\int }_0^{\pi }f(t)\cos (x-t)dt$$

を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

曲線 $y=\log (\cos x)$($0\le x\le \frac{\pi }{3}$)の長さを求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\cdots +\sqrt{n^2-n^2}\right)$ を求めよ。

曲線 $y=\log x$、$x$ 軸、直線 $x=e$ で囲まれた部分を、$y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。