区分求積法(1/(1+x))

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 個の項の和の極限 — 直接は足せない。区分求積法の型に整えて、和を定積分に変換する。

目標の型は $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^{1}f(x)dx$。

$$\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$

と $\frac{1}{n}$ をくくり出せば、$f(x)=\frac{1}{1+x}$ の型にはまる。よって極限は ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2$。「$\frac{k}{n}$ のかたまりを作る」のが変形の目標だ。

① $\frac{1}{n}$ をくくり出す。 区分求積の形にするため、$\frac{1}{n}$ を外に出す。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$$

② 定積分に読みかえる。 $f(x)=\frac{1}{1+x}$、$\frac{k}{n}\to x$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=[\log (1+x){]}_0^1=\log 2-\log 1=\log 2$$

まとめ:区分求積は「$\frac{1}{n}$ をくくり出して $\frac{k}{n}=x$ とみる」のが第一歩。$\frac{1}{n+k}$ は $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+k/n}$ と変形。${\int }_0^1\frac{1}{1+x}=\log 2$ という有名な結果になる。

発展 — 一歩先へ。 この和は調和数 $H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$ の言葉で $H_{2n}-H_n$ と書ける。調和数自体は $\log n$ 程度で発散するが、差は $\log 2n-\log n=\log 2$ に落ち着く — 発散する量どうしの差が有限になる、解析でよく出会う構図だ。

また、交代級数 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots =\log 2$ と今回の和は、項の並べ替えで同じものであることが示せる。区分求積・面積・級数 — $3$ つの顔を持つ $\log 2$ は、数IIIの世界の交差点にいる定数である。

別解

この和の正体を、$y=\frac{1}{x}$ の面積として直接見ることもできる。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$$

各項 $\frac{1}{n+k}$ は、曲線 $y=\frac{1}{x}$ の $x=n+k$ での高さ。幅 $1$ の短冊を $x=n$ から $2n$ まで並べた総面積 — つまりこの和は

$${\int }_n^{2n}\frac{dx}{x}=\log 2n-\log n=\log 2$$

の短冊近似だ。$n$ が大きいほど短冊は細かくなり、面積 $\log 2$ に近づく。

見どころは、積分の値が $n$ に依らないこと。$\frac{1}{x}$ の面積は「区間の比」だけで決まる($n$ から $2n$ は常に $2$ 倍)— 対数の本質(掛け算を足し算に)が、この和の極限が $\log 2$ という定数に固定される理由である。区分求積の機械的な変形の裏に、この「比で測る面積」の絵を持っておくと、$\sum \frac{1}{n+k}$ 系の問題はどれも見通せる。