正弦曲線が囲む図形の重心(積分と重心)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重心は「図形をつり合わせる点」。左右対称($x=\frac{\pi }{2}$ について対称)だから $x$ 座標は $\frac{\pi }{2}$ とすぐ分かる。問題は $y$ 座標だ。

$y$ 座標は、各縦線分($x$ を固定したときの $0$ から $\sin x$ の線分)の中点 $\frac{\sin x}{2}$ を、線分の長さ(面積の要素)で重みづけて平均する。

式にすると $\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}(\sin x{)}^{2}dx$。面積 $A=2$、積分は ${\sin }^2$ を半角で計算する。

① 面積 $A$。 $A={\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=2$。

② 分子の積分。 半角公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ を使い $${\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{4}[x-\frac{\sin 2x}{2}{]}_0^{\pi }=\frac{1}{4}\cdot \pi =\frac{\pi }{4}.$$ ③ 重心の $y$ 座標。 $$\overline{y}=\frac{1}{A}{\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}.$$ (対称性から重心の $x$ 座標は $\frac{\pi }{2}$。)

まとめ 重心の $y$ 座標は、各縦短冊の中点 $\frac{y}{2}$ を面積で重みづけた平均 $\overline{y}=\frac{1}{A}\int \frac{y^2}{2}dx$。面積 $2$、分子 $\frac{\pi }{4}$ で $\overline{y}=\frac{\pi }{8}$。積分と重心の融合。

発展 — 一歩先へ。 重心の $x$ 座標は対称性から $\frac{\pi }{2}$。$y$ 座標 $\frac{\pi }{8}\approx 0.39$ は、山の高さ $1$ の $4$ 割ほどの位置にある(半円や三角形の重心が高さの $\frac{1}{3}\sim \frac{4}{3\pi }$ 付近に来るのと似た感覚)。重心はモーメント $\int ydm$ を質量で割った「つり合いの点」で、物理の剛体の運動や安定性の解析で中心的な量になる。

別解

別解 — パップスの定理を逆に使って重心を出す(得意な人向けの高い視点)。 パップス・ギュルダンの定理「回転体の体積 $=$(面積)$\times$(重心が動く距離)」を、重心を求める向きに使う。

この図形を $x$ 軸のまわりに回すと、体積は

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{{\pi }^2}{2}.$$

一方パップスの定理では $V=(\text{面積}A)\times (\text{重心が動く距離}2\pi \overline{y})$。$A=2$ だから

$$\frac{{\pi }^2}{2}=2\times 2\pi \overline{y}⟹\overline{y}=\frac{{\pi }^2/2}{4\pi }=\frac{\pi }{8}.$$

各縦線分の中点を積分する(本解)代わりに、「回転体の体積を1回計算 → 定理で割り算」でも $\frac{\pi }{8}$ が出る。回転体の体積と重心が、パップスの定理で表裏一体になっている。