区分求積法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無限個の項の和 — そのままでは計算できない。

だが、この和には特徴的な形がある。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}$$

$2$ つの部品に注目してほしい。

• $\frac{k}{n}$ — $k$ が $1$ から $n$ まで動くと、$0$ から $1$ までを細かく刻む
• $\frac{1}{n}$ — 刻み幅そのもの

この形は、「細い長方形の面積を足し上げている」姿だ。

• 横幅 $=\frac{1}{n}$
• 高さ $=f\left(\frac{k}{n}\right)$(ここでは $f(x)=x$)

$n\to \infty$ で、長方形は無限に細くなり、和は面積(定積分)に収束する。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$

「$\frac{k}{n}$ を $x$ に、$\frac{1}{n}$ を $dx$ に置き換える」

これが区分求積法だ。和の極限を、積分に翻訳する。

① 定積分に読みかえる。 $\frac{k}{n}$ を $x$、$\frac{1}{n}$ を $dx$ とみる。$f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{k}{n}$ なので $f(x)=x$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}={\int }_0^{1}xdx$$

② 計算する。

$$=[\frac{x^2}{2}{]}_0^1=\frac{1}{2}$$

まとめ:区分求積法は「$\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の極限 = ${\int }_0^{1}f$」。$\frac{k}{n}$ を $x$、$\frac{1}{n}$ を幅 $dx$ とみると、和が面積(定積分)に化ける。細い長方形を無限に集める、という積分の原点だ。

発展 — 一歩先へ。 区分求積法は、「積分の定義」そのものを逆に使っている。

この視点で、有名な極限をいくつか片づけてみよう。

問題 $1$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)$

一見、手も足も出ない。だが、無理やり $\frac{1}{n}$ をくくり出す。

$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}={\left[\log (1+x)\right]}_0^1=\log 2$$

答えは $\log 2\approx 0.693$。

$n$ 個の分数を足しただけで、対数が現れた。

問題 $2$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{2}{n}}+\cdots +\sqrt{\frac{n}{n}}\right)$

$$={\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$$

問題 $3$(難関): $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

階乗の $n$ 乗根! どう手をつけるのか。

対数をとる。

$$\log \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1}{n}\log \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \frac{k}{n}$$

区分求積法の形になった!

$$\to {\int }_0^1\log xdx={\left[x\log x-x\right]}_0^1=-1$$

($x\to 0$ で $x\log x\to 0$ を使う。)

対数が $-1$ に収束するので、元の量は

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=e^{-1}=\frac{1}{e}$$

階乗の $n$ 乗根が、$\frac{n}{e}$ に近づく。

確かめよう。 $n=10$ なら

$$\sqrt[10]{10!}=\sqrt[10]{3628800}\approx 4.53,\frac{10}{e}\approx 3.68$$

$n=100$ なら、比は $0.99$ 程度まで近づく。

この結果は、スターリングの公式

$$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$

の、$n$ 乗根版にあたる。

階乗という離散的な対象の増え方が、${\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ という連続的な式で捉えられる。

そして、その橋渡しをしたのが — 区分求積法だった。

「離散(和)と連続(積分)を行き来する」

この往復ができるようになると、解ける問題の幅が一気に広がる。

和で困ったら、積分へ。積分で困ったら、和へ。

別解

積分を使わず、和を直接計算して極限をとる。

この問題の和は、実は手で計算できてしまう。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}=\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k$$

$\Sigma k$ の公式(ガウスの和)を使う。

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

代入する。

$$\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}$$

きれいな形になった。

極限をとる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}$$

答えは $\frac{1}{2}$ ✓ 本解と一致した。

数値で追ってみよう。

$$n=10:\frac{11}{20}=0.55$$ $$n=100:\frac{101}{200}=0.505$$ $$n=10000:0.50005$$

$\frac{1}{2}$ に、上から近づいている。

なぜ「上から」なのか。

$f(x)=x$ は増加関数だ。 各区間の右端の値を高さに使っているので、長方形は真の面積より少しはみ出す。

だから、和は真の値より少し大きい。

もし左端($\frac{k-1}{n}$)を使えば、下から近づく。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k-1}{n}=\frac{n-1}{2n}\to \frac{1}{2}(\text{下から})$$

どちらも、極限は同じ $\frac{1}{2}$。

「右端でも左端でも、$n\to \infty$ なら同じ」 — これが区分求積法の要点だ。

さて、この問題では和が直接計算できた。だが、それは例外である。

たとえば、こんな和は?

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$$

$\Sigma$ の公式では、まったく歯が立たない。

だが、区分求積法なら一瞬だ。

$$={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={\left[\arctan x\right]}_0^1=\frac{\pi }{4}$$

$\pi$ が出てきた!

和の形からは想像もつかない答えが、積分に翻訳した途端に現れる。

「計算できない和を、計算できる積分に翻訳する」

これが区分求積法の、本当の使い道である。

図形の面積を「和の極限」で定義したことの、恩返しなのだ。 定義した道を、逆にたどって、和を積分で計算する。