面積(放物線と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず、曲線と $x$ 軸の交点を求める。

$$x^2-1=0⟹x=\pm 1$$

積分区間は $[-1,1]$ だ。

次に、符号を確認する。

$$-1<x<1⟹x^2<1⟹x^2-1<0$$

曲線は、$x$ 軸の下にある。

このまま積分すると、答えが負になってしまう。

面積は「上 $-$ 下」だった。 ここでは $x$ 軸(=$y=0$)が上、放物線が下。

$$S={\int }_{-1}^1\left\{0-(x^2-1)\right\}dx={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx$$

符号を反転させて積分する。

「$x$ 軸の下にある部分は、$-f$ を積分する」 — 数IIで学んだ原則そのものだ。

そして、この被積分関数 $1-x^2$ は偶関数。対称性が使える。

① 交点と上下を確かめる。 $x^2-1=0$ より $x=\pm 1$。$-1<x<1$ で $x^2-1<0$($x$ 軸の下)。

② 「$x$ 軸 − 曲線」を積分する。 偶関数なので $2{\int }_0^1$。

$$\text{面積}={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=2{\int }_0^1(1-x^2)dx=2[x-\frac{x^3}{3}{]}_0^1=2(1-\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$$

まとめ:曲線が $x$ 軸の下にあるときは、$-f=1-x^2$ を積分して面積を正にする。偶関数の対称性で $2{\int }_0^1$ と計算が楽になる。$\frac{4}{3}$ が求める面積だ。

発展 — 一歩先へ。 アルキメデスは、微積分なしで、どうやって「放物線の $\frac{2}{3}$」を証明したのか。

取り尽くし法という、天才的な方法を使った。

放物線の切片(弦と放物線で囲まれた部分)に、三角形を詰めていく。

まず、いちばん大きな三角形を $1$ つ入れる。 面積を $T$ とする。

次に、残った隙間($2$ か所)に、それぞれ三角形を入れる。

アルキメデスは、この三角形の面積が、それぞれ $\frac{T}{8}$ になることを示した。

$2$ つで $\frac{T}{4}$。

さらに残った隙間($4$ か所)に三角形を入れると、合計 $\frac{T}{16}$。

この調子で、無限に詰めていく。

$$S=T+\frac{T}{4}+\frac{T}{16}+\frac{T}{64}+\cdots$$

公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比級数だ!

$$S=\frac{T}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4T}{3}$$

「放物線の切片は、内接三角形の $\frac{4}{3}$ 倍」

これが、アルキメデスの結論である。

($2000$ 年前に、無限等比級数の和を使っている!)

この問題で確かめよう。

弦は $x$ 軸($y=0$)、放物線は $y=x^2-1$。

内接する最大の三角形は、頂点 $(-1,0)$、$(1,0)$、$(0,-1)$。

$$T=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1$$

アルキメデスの公式より

$$S=\frac{4T}{3}=\frac{4}{3}$$

積分の答えと、ぴったり一致 ✓

$2000$ 年前の幾何学と、現代の積分が、同じ答えにたどり着いた。

アルキメデスの偉大さは、どこにあるのか。

彼は「無限に足し上げる」という操作を、恐れなかった。

当時のギリシャ数学は、無限を忌避していた(ゼノンのパラドックスの影響で)。

それでもアルキメデスは、無限等比級数を計算し、正しい答えを出した。

微積分が発明されるまで、$1900$ 年。

その間、誰も彼を超えられなかった。

そして、$17$ 世紀。ニュートンとライプニッツが微積分を作り上げたとき、彼らは言った。

「私が遠くを見渡せたのは、巨人の肩に乗っていたからだ。」

その巨人の $1$ 人が、アルキメデスである。

${\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$ という、いま我々が $1$ 分で解く計算。

それは、人類が $2000$ 年かけて手に入れた道具の、恩恵なのだ。

別解

放物線の面積は、公式で一発。

$\frac{1}{6}$ 公式を使う。

$${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$$

この形は、「$2$ 次関数が $x$ 軸と交わる $2$ 点のあいだの積分」を表す。

この問題の関数を、因数分解する。

$$x^2-1=(x+1)(x-1)$$

$\alpha =-1$、$\beta =1$ だ。

$${\int }_{-1}^1(x+1)(x-1)dx=-\frac{(1-(-1){)}^3}{6}=-\frac{2^3}{6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$$

負の値が出た。 曲線が $x$ 軸の下にあるからだ。

面積は、その絶対値。

$$S=\frac{4}{3}$$

本解と同じ答え ✓ 積分計算を $1$ 行もしていない。

$\frac{1}{6}$ 公式の威力。

「$2$ 交点の距離 $(\beta -\alpha )$ さえ分かれば、面積が即座に出る」

$$S=\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{6}(\text{2 次の係数が }a\text{ のとき})$$

放物線と直線が囲む面積も、同じ公式で処理できる。

例: $y=x^2$ と $y=x+2$ の囲む面積。

交点は $x^2=x+2$ より $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$、つまり $x=-1,2$。

$$S=\frac{1\times (2-(-1){)}^3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$$

交点さえ求めれば、あとは代入するだけ。

さて、この問題の答え $\frac{4}{3}$ には、もう $1$ つの顔がある。

放物線を囲む長方形と比べてみよう。

幅 $2$($-1$ から $1$)、高さ $1$($x=0$ での深さ)の長方形。

$$\text{長方形の面積}=2\times 1=2$$

求めた面積は $\frac{4}{3}\approx 1.33$。

$$\frac{4/3}{2}=\frac{2}{3}$$

放物線は、囲む長方形の $\frac{2}{3}$ を占めている。

この「$\frac{2}{3}$」は、アルキメデスが発見した有名な事実だ。

「放物線の切片の面積は、外接する長方形の $\frac{2}{3}$」

放物線がどんな形でも、どこを切っても、必ず $\frac{2}{3}$。

この普遍性が、$2000$ 年前の数学者を魅了した。

そして、その根っこにあるのは

$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}⟹1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

という、たった $1$ 行の積分なのである。