積分に n を掛けた極限(端に集まる質量)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^n$ は $n$ が大きいほど、$x=1$ の近くだけで大きく、それ以外ではほぼ $0$。つまり“重み”が右端に集まる。

その重み $x^n$ で $e^x$ を平均するようなものだから、$n$ が大きいと $x=1$ での値 $e^1=e$ に近づきそうだ。

これを厳密にするには、$n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\to g(1)$($g$ が連続)を、部分積分かはさみうちで示す。ここでは $g(x)=e^x$ で極限は $e$。

① 土台の積分。 $n{\int }_0^1{x}^{n}dx=n\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\to 1$。

② $e^x$ をはさむ。 任意の小さな $\delta >0$ に対し、$[1-\delta ,1]$ では $e^x\ge e^{1-\delta }$、また全体で $e^x\le e$。質量が $[1-\delta ,1]$ に集まる($n{\int }_0^{1-\delta }{x}^{n}dx=\frac{n(1-\delta {)}^{n+1}}{n+1}\to 0$)ことから、 $$e^{1-\delta }\le \mathrm{liminf}n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\le \mathrm{limsup}n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx\le e.$$ $\delta \to 0$ とすると両端が $e$ に近づく。

③ 極限。 よって $\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx=e^1=e$。

まとめ $n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx$ は、$x^n$ の質量が $x=1$ に集中するので $g(1)$ に収束する。ここでは $g(x)=e^x$ で答えは $e$。積分の重み・極限・はさみうちの融合。部分積分 $n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx=\frac{n}{n+1}[x^{n+1}{e}^x{]}_0^1-\cdots$ からも確認できる。

発展 — 一歩先へ。 一般に連続な $g$ で $n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\to g(1)$。重み $n{x}^n$ は $n\to \infty$ で $x=1$ の一点に集中する“デルタ関数”のように振る舞う。$g(x)=x^2$ なら $\to 1$、$g(x)=\cos x$ なら $\to \cos 1$。「点で値を拾い出す」この仕組みは、フーリエ解析や信号処理の核(カーネル)の考え方につながる。

別解

別解 — 部分積分で $\frac{1}{n+1}$ の重みを取り出す(得意な人向けの高い視点)。 ${\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ を、$x^n$ を積分・$e^x$ を微分する向きで部分積分する。

$${\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx={\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}{e}^x\right]}_0^1-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx=\frac{e}{n+1}-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx.$$

$n$ を掛けると、第1項は $\frac{ne}{n+1}\to e$。第2項は $\frac{n}{n+1}{\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx$ で、${\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{x}dx\le \frac{e}{n+2}\to 0$ だから消える。

よって極限は $e$。「$x^n$ の質量が $x=1$ に集まる」(本解)という直感を、$\frac{e}{n+1}$ という具体的な形で確認できる。一般に $n{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\to g(1)$ が、この計算でそのまま示せる。