回転体の体積(直線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転体の体積は、薄い円板を積み重ねるという発想で求める。

$x$ の位置で、立体を垂直に切る。

切り口は何か。 半径 $y$ の円だ。

その円の面積は

$$\pi y^2$$

この円板を、厚み $dx$ で積み重ねていく。

$$V={\int }_a^b\pi y^{2}dx$$

「回転体は、薄い円板の積み重ね。断面積を積分する。」

これが、すべての回転体に共通する土台だ。

この問題では $y=x$ だから

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{\pi }{3}$$

できる立体は、底面の半径 $1$、高さ $1$ の円錐である。

答えの $\frac{\pi }{3}$ が、小学校で習った「円錐の体積 $=$ 底面積 $\times$ 高さ $÷3$」と一致するか、確かめてみよう。

① 公式にあてはめる。 $y=x$ なので $y^2=x^2$。

$$V=\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx$$

② 計算する。

$$=\pi [\frac{x^3}{3}{]}_0^1=\frac{\pi }{3}$$

まとめ:回転体の体積は「断面(半径 $y$ の円)の面積 $\pi y^2$ を積分」。$V=\pi \int y^{2}dx$。これは底面半径 $1$、高さ $1$ の円錐で、公式 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi }{3}$ とも一致する。

発展 — 一歩先へ。 「断面積を積分すれば体積」— この原理は、回転体に限らない。

カヴァリエリの原理という、美しい定理がある。

「$2$ つの立体を、同じ高さで切ったとき、どの高さでも断面積が等しいなら、体積も等しい。」

形が全然違っても、断面積さえ同じなら、体積は同じ。

トランプの束を思い浮かべてほしい。

まっすぐ積んだ束と、斜めにずらした束。 形はまるで違うが、体積(カードの総量)は同じだ。

どの高さで切っても、断面(カード $1$ 枚)の面積が同じだからである。

この原理を使うと、球の体積が、驚くほど鮮やかに求まる。

アルキメデスの方法。

半径 $r$ の半球を考える。 高さ $h$ で切った断面は、半径 $\sqrt{r^2-h^2}$ の円だ。

$$S_{\text{半球}}=\pi (r^2-h^2)$$

次に、こんな立体を考える。

半径 $r$、高さ $r$ の円柱から、$1$ 点を頂点とする円錐をくり抜いた立体。

高さ $h$ での断面は、外側が半径 $r$ の円、内側(くり抜かれた部分)が半径 $h$ の円。

$$S_{\text{円柱}-\text{円錐}}=\pi r^2-\pi h^2=\pi (r^2-h^2)$$

同じだ!

どの高さでも、断面積が一致している。

カヴァリエリの原理より、$2$ つの立体の体積は等しい。

$$V_{\text{半球}}=V_{\text{円柱}}-V_{\text{円錐}}=\pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3$$

球全体なら、その $2$ 倍。

$$\boxed{V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi r^3}$$

積分を使わずに、球の体積が出た。

アルキメデスは、この発見をとても誇りに思い、自分の墓に「球と円柱」の図を刻ませたという。

「球は、外接する円柱の $\frac{2}{3}$」

$$\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac{2}{3}$$

$2000$ 年以上前に、微積分なしで、この結果に到達していた。

もちろん、現代なら積分で一発だ。

$$V=\pi {\int }_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx=\pi {\left[r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-r}^r=\frac{4}{3}\pi r^3$$

アルキメデスの何ページもの議論が、$1$ 行に凝縮される。

それでも、「断面積を積み上げる」という発想そのものは、$2000$ 年前と変わっていない。

積分は、その古い発想に、機械的な計算手段を与えたのだ。

別解

小学校の公式と照合し、「なぜ $\frac{1}{3}$ なのか」を積分で明かす。

円錐の体積公式を、思い出そう。

$$V=\frac{1}{3}\times (\text{底面積})\times (\text{高さ})$$

この立体は、底面の半径 $1$、高さ $1$ の円錐だ。

$$V=\frac{1}{3}\times \pi \times 1^2\times 1=\frac{\pi }{3}$$

積分の答えと、ぴったり一致 ✓

さて、ここからが本題だ。

小学校では「円錐の体積は円柱の $\frac{1}{3}$」と、天下り式に教わった。

なぜ $\frac{1}{3}$ なのか。 誰も教えてくれなかったはずだ。

その答えが、この積分の中にある。

$$V=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi \times \frac{1}{3}$$

$\frac{1}{3}$ は、${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ から来ている。

「$x^2$ の積分の $\frac{1}{3}$」が、そのまま「円錐の $\frac{1}{3}$」になっているのだ。

もう少し丁寧に見よう。

外接する円柱(半径 $1$、高さ $1$)の体積は

$$V_{\text{円柱}}=\pi \times 1^2\times 1=\pi$$

円柱は、断面の円がずっと半径 $1$ のまま。 断面積は一定($\pi$)。

円錐は、断面の半径が $0$ から $1$ へ、直線的に増える。 断面積は $\pi x^2$ で、$2$ 次関数的に増える。

「断面積の平均」を比べよう。

• 円柱: 平均 $\pi$
• 円錐: 平均 $={\int }_0^1\pi x^{2}dx=\frac{\pi }{3}$

半径が線形に増えても、面積は $2$ 乗で増える。 だから、平均は真ん中($\frac{\pi }{2}$)ではなく、$\frac{\pi }{3}$ になる。

「$2$ 乗で増えるものの平均は、$\frac{1}{3}$」

$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$$

この $\frac{1}{3}$ が、円錐の $\frac{1}{3}$ の正体だった。

同じ論理で、$4$ 角錐でも三角錐でも、どんな錐体でも $\frac{1}{3}$ になる。

底面の形が何であれ、「相似な断面が線形に縮む」なら、断面積は $2$ 乗で縮む。

$$V={\int }_0^{h}S{\left(\frac{x}{h}\right)}^{2}dx=S\cdot \frac{h}{3}$$

すべての錐体が $\frac{1}{3}$ である理由が、これだ。

そして、$4$ 次元の"超錐体"なら?

断面が $3$ 乗で縮むので

$${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$$

$\frac{1}{4}$ になる。

$n$ 次元の錐体の体積は、外接する柱体の $\frac{1}{n}$。

小学校の $\frac{1}{3}$ は、$3$ 次元だから $3$ で割っていたのだ。

積分は、暗記していた公式に「理由」を与えてくれる。