2曲線間の面積(指数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 曲線の囲む面積 — 手順は数IIと同じ「上 $-$ 下」だ。

まず上下を確定する。$x>0$ では $e^x>1>e^{-x}$ だから $y=e^x$ が上($x=0$ では両者一致、そこが囲みの左の合わせ目)。

$$S={\int }_0^1\left(e^x-e^{-x}\right)dx$$

あとは原始関数。$e^{-x}$ の積分が $-e^{-x}$(マイナスが付く)であることだけが数IIIらしい注意点である。

① 上下を確かめる。 $0\leqq x\leqq 1$ で $e^x\geqq e^{-x}$。$y=e^x$ が上。

② 「上 − 下」を積分する。 $\int (e^x-e^{-x})dx=e^x-(-e^{-x})=e^x+e^{-x}$。

$$\text{面積}={\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx=[e^x+e^{-x}{]}_0^1=(e+\frac{1}{e})-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2$$

まとめ:$e^x$ と $e^{-x}$ で囲む面積は「上 − 下」の積分。$-e^{-x}$ を引くと $+e^{-x}$ になる符号処理に注意。$e+\frac{1}{e}-2\approx 1.09$ が求める面積だ。

発展 — 一歩先へ。 被積分関数 $e^x-e^{-x}$ は(半分にすると)双曲線関数 $\sinh x$ と呼ばれ、$\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$ とペアで、垂れ下がる鎖の形(懸垂線)や特殊相対性理論に現れる。三角関数そっくりの公式体系(${\cosh }^2-{\sinh }^2=1$)を持つ、指数関数の「対称化」ファミリーだ。

答え $e+\frac{1}{e}-2={\left(\sqrt{e}-\frac{1}{\sqrt{e}}\right)}^2$ という書き換えもできる — 面積が完全平方の形になっているのは、この対称性の反映である。

別解

$2$ 本の曲線を別々の帯として測り、引き算する読み方をすると、$2$ つの積分値の意味が見える。

• $y=e^x$ の下の帯: ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1\approx 1.72$
• $y=e^{-x}$ の下の帯: ${\int }_0^1{e}^{-x}dx=1-\frac{1}{e}\approx 0.63$

差をとって $S=(e-1)-\left(1-\frac{1}{e}\right)=e+\frac{1}{e}-2$。

ここで面白いのは $2$ 本目の帯だ。$y=e^{-x}$ のグラフは $y=e^x$ を $y$ 軸で折り返した鏡像だから、$[0,1]$ での $e^{-x}$ の面積は、$e^x$ の $[-1,0]$ での面積と同じ。$2$ つの帯は「同じ指数曲線の右隣と左隣」を測っていたことになる。

数値の感覚($1.72-0.63\approx 1.09$)を持っておくと、符号ミスで $e-\frac{1}{e}$($\approx 2.35$)などが出たときに違和感で気づける。