曲線の長さ(懸垂線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線の長さは $\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$ で求まる。

ふつうは根号が残って積分しにくい。だがこの曲線(懸垂線)$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ では事情が違う。

$1+(y^{\prime }{)}^2$ を計算すると、ちょうど完全平方 ${\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2$ になる。だから根号がきれいに外れる。

まず $y^{\prime }$ を求め、$1+(y^{\prime }{)}^2$ が $2$ 乗の形になることを確かめる。そこが急所だ。

① $y^{\prime }$ と $1+(y^{\prime }{)}^2$ を求める。 $y^{\prime }=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$。

$$1+(y^{\prime }{)}^2=1+\frac{(e^x-e^{-x}{)}^2}{4}=\frac{4+e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}=(\frac{e^x+e^{-x}}{2}{)}^2$$

② 根号を外す。 中身が完全平方なので

$$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

③ 積分する。

$$L={\int }_0^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx=[\frac{e^x-e^{-x}}{2}{]}_0^1=\frac{e-e^{-1}}{2}-0=\frac{e-e^{-1}}{2}$$

まとめ:この曲線(懸垂線)は、$1+(y^{\prime }{)}^2$ が完全平方 ${\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2$ になるよう作られている。根号がきれいに外れ、$\int \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$。曲線の長さ問題は「根号が外れる形」がほとんどだ。

発展 — 一歩先へ。 この曲線は懸垂線(カテナリー)と呼ばれ、両端を留めた鎖やロープが自分の重みで垂れ下がるときの形だ。かつては放物線と思われていたが、放物線ではない。ガリレオは放物線と考え、のちにホイヘンスやベルヌーイらが正体を突きとめた。

一般には $y=a\cosh \frac{x}{a}=\frac{a}{2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)$ と書ける。$a$ は垂れ具合を決める定数で、大きいほど浅く、小さいほど深く垂れる。この一般形でも $1+(y^{\prime }{)}^2$ は完全平方になり、$0$ から $b$ までの弧長は $a\sinh \frac{b}{a}$ ときれいにまとまる。

見た目のよく似た放物線とは、微妙だが本質的に違う。鎖が「いちばん楽な垂れ方」を自然に選ぶと、放物線ではなくこの $\cosh$ の形になる。数学と物理が交わる美しい例だ。

別解

別解 — 折れ線で長さを近似して確かめる(苦手な人向けの実験ルート)。 「曲線の長さ」がそもそも何かを、折れ線でなぞって体感してみる。区間を細かく割り、各区間を線分で結んで長さを足すと、本当の弧長に近づく。

区間 $[0,1]$ を半分に割り、$3$ 点をとる。$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ の値は $x=0,0.5,1$ でおよそ $1,1.128,1.543$。

$2$ つの線分の長さを三平方で出す。$\sqrt{0.5^2+0.128^2}\approx 0.516$、$\sqrt{0.5^2+0.415^2}\approx 0.650$。足すと約 $1.166$。

分割をもっと細かくすると、この折れ線の総和は $\frac{e-e^{-1}}{2}\approx 1.175$ にじわじわ近づく。折れ線は弧より少し短いので、下から近づくのが自然だ。公式で根号を外して出す本解の値と、ちゃんと一致する。