積分法の応用の解説

積分法の応用は、定積分で面積・体積・曲線の長さ・道のりを求め、さらに区分求積法で和の極限を積分に読み替える単元です。数学IIIで最も出題頻度の高い分野で、理系入試では毎年のように大問になります。この記事では、それぞれのテーマで「何を積分しているか」を図で確かめる、という一貫した考え方を説明します。

面積は「上 − 下」、それは数学IIと同じ

2曲線で囲まれた面積は、「上の曲線 − 下の曲線」を交点の間で積分します。数学IIと手順は同じで、扱う関数が指数・対数・三角・分数・無理関数に広がっただけです。面積(指数関数と x 軸)、sin と x 軸、2曲線間の面積(指数)で、交点の求め方(指数方程式や三角方程式)を含めて確認してください。

$\log x$ と $x$ 軸で囲まれた面積(標準の同名の問題)は、$x$ で積分するなら部分積分、$y$ で積分するなら $x=e^y$ として指数関数の積分になります。「$y$ で積分する」という選択肢を持っていると、計算が短くなる問題が多くあります。

このサイトでは、面積の問題すべてに塗り分けの図を付けてあります。上下関係と積分区間を、式を立てる前に図で確かめてください。

回転体の体積は「円板を積む」

$x$ 軸のまわりの回転体の体積は $V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$ です。この式は、「$x$ の位置に半径 $y$ の円板があり、厚さ $dx$ で積み重ねる」という意味で、$\pi y^2$ は断面の円の面積です。回転体の体積(直線)で円錐の体積が $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ になることを確かめ、放物線、標準の指数、sinへ進んでください。${\sin }^2$ の積分は半角の公式です。

2曲線の間を回転させると、外側の円から内側の円を引いた「輪」を積むので、$\pi \int (y_1^2-y_2^2)dx$ です。$\pi \int (y_1-y_2{)}^{2}dx$ ではありません(標準の2曲線、応用の中空)。$y$ 軸のまわりの回転は、$x$ と $y$ の役割を入れ替えて $\pi \int x^{2}dy$ です(難関のy軸のまわりの回転体)。

このサイトでは、回転体の問題に「生成する領域」「曲線とその鏡像の輪郭」「断面の円」を描いた図を付けてあります。「なぜ $y^2$ なのか」を図で確かめてから式に進んでください。回転体でない立体(断面が正三角形や正方形)も、「断面積を積む」という同じ考え方で求まります(難関の断面積による体積)。

区分求積法は「長方形の和を積分に」

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$ が区分求積法の基本形です。区間 $[0,1]$ を $n$ 等分した長方形の面積の和が、$n\to \infty$ で曲線の下の面積になる、という意味です。

和の極限の問題では、$\frac{k}{n}$ を作り出すように式を整えます。$\sum \frac{1}{n+k}$ なら $\frac{1}{n}\sum \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ と直して、$f(x)=\frac{1}{1+x}$ です。区分求積法、標準の1/(1+x)、√、応用の1/(1+x²)で、$\frac{k}{n}$ の作り方を練習してください。このサイトでは、長方形を並べた図を付けてあります。

曲線の長さと道のり

曲線 $y=f(x)$ の長さは $L={\int }_a^b\sqrt{1+\{f^{\prime }(x){\}}^2}dx$ です。根号の中が平方の形になる関数(懸垂線 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$、$x^{3/2}$ など)が出題されます(標準の曲線の長さ、応用の懸垂線)。

速度 $v(t)$ から道のりを求めるには $\int |v(t)|dt$、変位なら $\int v(t)dt$ です。道のりは絶対値をつけるので、速度の符号が変わる時刻で区間を分けます(速度と道のり、標準の道のりと変位、応用の三角関数)。

つまずきやすいところ

回転体で最も多い誤りは、2曲線の間の回転で $(y_1-y_2{)}^2$ を積分することです。輪の面積は「外の円 − 内の円」で、差の2乗ではありません。図を描いて断面を確かめてください。

区分求積法では、和の始まりが $k=0$ か $k=1$ か、項数が $n$ か $n-1$ かで迷いますが、極限をとると有限個の項の違いは消えるので、結果は変わりません。ただし、$\frac{1}{n}$ をくくり出し忘れると、極限が発散するか0になってしまうので、係数の確認は必要です。

学習の順序と入試での出方

基礎12問で面積・回転体・区分求積・道のりの基本形を確認し、標準12問で $\log x$ の面積、2曲線の回転体、区分求積の応用、曲線の長さを扱い、応用8問で無理関数との面積、$\sqrt{\sin x}$ の回転体、懸垂線、中空の回転体、球の体積へ進みます。

入試では、面積と回転体が中心で、パラメータを含む面積の最大・最小、$y$ 軸回転、非回転体の体積が難関大で出ます。実戦編には、3つの一様乱数が単位球に入る確率、トーラスの体積、断面が正三角形の立体、正弦曲線の重心を、最難関編には、${\tan }^{n}x$ の積分漸化式、直交する2円柱の共通部分、対数曲線の $y$ 軸回転など、積分の応用の幅を広げる問題を集めました。