数学III / 積分法の応用

面積(log x と x 軸)

★★ 標準面積

問題

曲線 $y = lo g x$ と $x$ 軸、および直線 $x = e$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

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まず $x$ 軸との交点( $lo g x = 0$ になる $x$ )を求めて、積分区間を確定する。 $lo g x$ の原始関数は部分積分で作る型だった。

解答・解説

方針

$1 ≦ x ≦ e$ で $lo g x ≧ 0$ ( $lo g 1 = 0$ から上)。面積は $\int_{1}^{e} lo g x d x$ 。 $lo g x$ の積分は $x lo g x - x$ (部分積分)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 囲まれた範囲の特定が先。 $y = lo g x$ は $x = 1$ で $x$ 軸を横切り、その右では正 — だから囲みは $1 ≦ x ≦ e$ 、曲線は軸の上にある。

$S = \int_{1}^{e} lo g x d x$

$lo g x$ の原始関数は部分積分の定番 $x lo g x - x$ 。代入して $S = 1$ 。「面積の問題は、まず交点と上下 — 積分の計算は最後」という順番を守れば迷わない。

重要

\int lo g x d x = x lo g x - x

(部分積分)。面積

=

定積分(

f ≧ 0

)

① 交点と上下を確かめる。 $lo g x = 0$ より $x = 1$ 。 $1 ≦ x ≦ e$ で $lo g x ≧ 0$ 。

② 定積分する。

$面積 = \int_{1}^{e} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{e} = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (- 1) = 1$

y=log x と x軸、x=e で囲む面積(=1)

まとめ: $lo g x$ と $x$ 軸が $[1, e]$ で囲む面積は $1$ 。 $lo g x$ の積分 $x lo g x - x$ (部分積分で導く)を使う。 $x$ 軸との交点が $x = 1$ であることも確認する。

発展 — 一歩先へ。 「横に切る」発想は $y$ 軸まわりの回転体や、 $x = g (y)$ 型の曲線の面積で必須になる。今回のような自由選択の場面で一度経験しておくと、強制される場面で戸惑わない。

$0 < x < 1$ の側( $lo g x < 0$ )まで囲みを広げた問題では、軸の下の部分を $- lo g x$ として足す。 $\int_{1/ e}^{1} (- lo g x) d x = 1 - \frac{2}{e}$ など、区間の切り分けが本題になる — 「 $x = 1$ が $lo g$ の海面」という今回の観察が、そこでも羅針盤になる。

答

$1$

別解

部分積分を使わずに、この領域を横に切って測る方法がある。

領域の点は「高さ $y$ ( $0$ から $1$ )、横は曲線から $x = e$ まで」。曲線 $y = lo g x$ を横向きに読むと $x = e^{y}$ だから、高さ $y$ の位置の横帯の長さは $e - e^{y}$ 。帯を $y = 0$ から $1$ まで積み上げて

$S = \int_{0}^{1} (e - e^{y}) d y = [ey - e^{y}]_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1$

$lo g$ の積分が、ただの指数関数の積分に化けた。

縦に切れば $\int lo g x d x$ (部分積分が要る)、横に切れば $\int e^{y} d y$ (基本の積分)— 同じ領域でも、切る向きで計算の難度が変わる。逆関数( $lo g \leftrightarrow e$ )のペアが絡む面積では、「反対の軸から切ったら楽にならないか」を一度は疑ってみる価値がある。

ポイント

$\int lo g x d x = x lo g x - x$ 。
$x$ 軸との交点 $x = 1$ ( $lo g 1 = 0$ )。

よくある間違い

囲みの左端を $x = 0$ とする( $lo g x$ は $x = 1$ で軸を切る。 $0 < x < 1$ は軸の下)
$lo g x$ の原始関数を $\frac{1}{x}$ とする(それは微分)
横帯ルートで帯の長さを $e^{y} - e$ と逆に取り符号が崩れる