y軸のまわりの回転体

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y$ 軸まわりの回転は、各 $y$ での断面が半径 $x$ の円。それを $y$ 方向に積み上げる。

だから体積は $V=\pi \int x^{2}dy$($x$ を $y$ で表し、$y$ で積分)。

$y=x^2$ を $x^2=y$ と直せば、$\pi \int ydy$ という簡単な積分になる。

積分変数が $x$ でなく $y$ になる点に注意、と見通す。

① $x^2$ を $y$ で表す。 $y=x^2$ より $x^2=y$。$0\le x\le 2$ に対応して $y$ は $0$ から $4$。

② 積分する。

$$V=\pi {\int }_0^4{x}^{2}dy=\pi {\int }_0^{4}ydy=\pi {\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^4=\pi \cdot \frac{16}{2}=8\pi$$

まとめ:$y$ 軸まわりの回転体は「$V=\pi \int x^{2}dy$」で、積分変数が $y$。$x^2=y$ に直して $\pi {\int }_0^{4}ydy=8\pi$。$x$ 軸まわり($\int y^{2}dx$)と、$x,y$ の役割が入れかわることに注意。

発展 — 一歩先へ。 $y$ 軸まわりの回転体は、$x$ 軸まわりと $x,y$ の役割が入れかわるだけ。断面の円の半径が $y$ でなく $x$ になり、積分変数が $y$ になる。

この体積は、別の切り口でも出せる。曲線を細い縦の短冊に切り、それを $y$ 軸まわりに回すと、半径 $x$・高さ $(4-x^2)$・厚み $dx$ の薄い円筒(殻)ができる。これを足し合わせる「円筒殻の方法」でも同じ $8\pi$ になる。

「輪切りにするか(円板)」「筒に分けるか(殻)」——見る向きを変えても体積は同じ。回転体は、どちらの断面で積分してもよい。

別解

別解 — 円筒殻に分けて足す(得意な人向けの視点)。 $y$ で輪切りにするかわりに、$x$ 方向の細い短冊を $y$ 軸まわりに回した「筒」を積み重ねてもよい。

位置 $x$ にある幅 $dx$ の短冊は、高さ $4-x^2$(直線 $y=4$ から曲線 $y=x^2$ まで)。これを $y$ 軸まわりに回すと、半径 $x$・高さ $4-x^2$・厚み $dx$ の薄い円筒になる。その体積は「側面積 $\times$ 厚み」$=2\pi x(4-x^2)dx$。

$x$ を $0$ から $2$ まで足し合わせると

$$V={\int }_0^{2}2\pi x(4-x^2)dx=2\pi {\int }_0^2(4x-x^3)dx=2\pi {\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=2\pi (8-4)=8\pi .$$

$y$ で輪切りにして $\pi \int x^{2}dy$ とする本解と同じ $8\pi$。円板法は「回転軸に垂直に切る」、円筒殻は「回転軸に平行な筒に分ける」。同じ立体を違う向きで数えても、体積は一致する。