面積(x e^{-x} と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $0\leqq x\leqq 1$ で $x{e}^{-x}\geqq 0$($x$ も $e^{-x}$ も非負)— 曲線は軸の上にあり、面積は素直に

$$S={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$$

$x$ と $e^{-x}$ の積だから部分積分(「$x$ を微分で消す」型)。$e^{-x}$ の原始関数が $-e^{-x}$ とマイナスを背負う分、符号の管理が計算の主戦場になる。原始関数は $-(x+1)e^{-x}$ — 微分して戻ることを確かめてから代入すると安全だ。

① 部分積分する。 $f=x$($f^{\prime }=1$)、$g^{\prime }=e^{-x}$($g=-e^{-x}$)。

$$\int x{e}^{-x}dx=x(-e^{-x})-\int 1\cdot (-e^{-x})dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$$

② 定積分する。

$$\text{面積}={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=[-(x+1)e^{-x}{]}_0^1=-2e^{-1}-(-1\cdot e^0)=-\frac{2}{e}+1=1-\frac{2}{e}$$

まとめ:$x{e}^{-x}$ の面積は部分積分。$g^{\prime }=e^{-x}$ の原始関数 $g=-e^{-x}$(マイナス)に注意。原始関数 $-(x+1)e^{-x}$ に代入。$1-\frac{2}{e}\approx 0.26$ が面積だ。

発展 — 一歩先へ。 区間を $[0,\infty )$ に広げると ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx=1$ — きれいな $1$ になる($x\to \infty$ で $(x+1)e^{-x}\to 0$)。この値は指数分布(待ち時間の確率モデル)の平均そのもので、${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$(ガンマ関数)という美しい一般化の最初の段でもある。今回の答え $1-\frac{2}{e}\approx 0.26$ は、その全体 $1$ のうち「$x=1$ までに稼ぐ分」— 指数減衰の尻尾がいかに重いかが数字で見える。

$y=x{e}^{-x}$ の山頂は $x=1$(微分応用の単元の主役)。面積の右端がちょうど山頂、という設定にも設計の意図がある。

別解

符号ミスが怖い $e^{-x}$ の部分積分は、答えの形を予想して係数で固める方が堅い。

原始関数は「($1$ 次式)$\times e^{-x}$」の形のはず。

$$F(x)=(ax+b)e^{-x}$$

とおいて微分する(積 $+$ 合成)。

$$F^{\prime }(x)=a{e}^{-x}-(ax+b)e^{-x}=\{-ax+(a-b)\}{e}^{-x}$$

これが $x{e}^{-x}$ に一致する条件は $-a=1$、$a-b=0$ — つまり $a=b=-1$。

$$F(x)=-(x+1)e^{-x}$$

マイナスの出どころが係数比較の $1$ 行に集約され、途中の符号の分岐が消える。定積分は

$$S=F(1)-F(0)=-\frac{2}{e}-(-1)=1-\frac{2}{e}$$

$e^{-x}$ 系の部分積分は $2$ 回、$3$ 回と重ねるほど符号事故が増える — 未定係数法はその保険として、指数減衰型の積分全般で覚えておく価値がある。