区分求積で円が現れる和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{n^2-k^2}=n\sqrt{1-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$ と $n$ をくくり出すと

$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n\sqrt{n^2-k^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$$

「幅 $\frac{1}{n}$ の短冊の和」の形、すなわち区分求積だ。並んでいるのは曲線 $y=\sqrt{1-x^2}$、単位円の上半分。

極限は ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$、つまり四分円の面積 $\frac{\pi }{4}$ に一致する。和の中に、円が隠れていた。

① 区分求積の形に直す。 上の変形により、求める極限は

$${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$$

② 置換で計算する。 $x=\sin \theta$($dx=\cos \theta d\theta$、$x:0\to 1$ で $\theta :0\to \frac{\pi }{2}$):

$${\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \cdot \cos \theta d\theta ={\int }_0^{\pi /2}\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta ={\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{4}$$

③ 答え。 $\frac{\pi }{4}$。(単位円の四分円の面積、と読めば検算にもなる。)

まとめ: 「$n^2$ で割る和 → $n$ をくくって短冊 → 区分求積」の翻訳が全て。数列の和の極限に円周率が現れるのは、和の影に円が隠れているから — 区分求積は“和の中の図形”を探す技術だと心得たい。

発展 — 一歩先へ。 左右の和の差 $\frac{|f(1)-f(0)|}{n}$ は、リーマン和の誤差が $\frac{1}{n}$ のオーダーであることを示している。短冊を台形に替える(台形則)と誤差は $\frac{1}{n^2}$ に改善する — 数値積分の精度理論の入り口だ。円周率をこの和で数値計算してみると、$n=1000$ で $\pi \approx 3.1400$ 程度と、$\frac{1}{n}$ の遅さが体感できる。

別解

左右の和ではさむ(区分求積を"手作り"する)。 区分求積法を定理として引用する代わりに、はさみうちで自前で示すこともできる。

$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ は減少関数。幅 $\frac{1}{n}$ の各小区間 $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$ で、$f$ の値は右端 $f\left(\frac{k}{n}\right)$ 以上・左端 $f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ 以下だから

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\le {\int }_0^{1}f(x)dx\le \frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)$$

左の和(与式)と右の和の差は、端の項の差だけ:

$$\frac{f(0)-f(1)}{n}=\frac{1}{n}⟶0$$

よって両者は同じ極限をもち、その値は ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}$(四分円の面積)。

単調な関数なら、区分求積は「左右の短冊ではさんで、差 $\frac{|f(1)-f(0)|}{n}\to 0$」で毎回その場で正当化できる — 定理の中身を自分の手で持っておく安心感は大きい。