面積(指数関数と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面積を求める前に、必ず符号を確認する。

$$e^x>0(\text{すべての }x\text{ で})$$

指数関数は、絶対に負にならない。

曲線が $x$ 軸より上にあるなら、面積はそのまま定積分に等しい。

$$S={\int }_0^1{e}^{x}dx$$

もし曲線が $x$ 軸の下にあれば、定積分は負になり、そのままでは面積にならない(符号を反転させる必要がある)。

だから「まず符号」なのだ。

あとは、原始関数を使って計算するだけ。

$$S={\left[e^x\right]}_0^1=e-1$$

数IIで学んだ「$x$ 軸より上なら、面積 $=$ 積分」という原則が、そのまま指数関数でも通用する。

関数が難しくなっても、面積の考え方は $1$ ミリも変わらない。

$0\leqq x\leqq 1$ で $y=e^x>0$。曲線は $x$ 軸の上にあるので、面積はそのまま定積分。

$$\text{面積}={\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e-1$$

まとめ:数III でも面積の基本は「曲線が $x$ 軸の上なら 面積 = 定積分」。$e^x$ の原始関数は $e^x$。$e-1\approx 1.72$ が求める面積だ。

発展 — 一歩先へ。 積分が計算できないとき、面積はどうやって求めるのか。

数値積分という技術がある。

もっとも素朴なのが、台形公式だ。

区間を $n$ 等分し、各区間で曲線を直線(台形の斜辺)で近似する。

$${\int }_0^1{e}^{x}dx\approx \frac{1}{n}\left(\frac{f(0)}{2}+f\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)+\frac{f(1)}{2}\right)$$

$n=1$(台形 $1$ 個)なら

$$\frac{1+e}{2}\approx 1.859$$

真の値 $1.718$ より、大きい。

なぜ大きくなるか。 $e^x$ は下に凸だから、台形の斜辺は曲線の上を通る。面積を多めに見積もってしまう。

では、もっと賢い方法はないか。

シンプソンの公式。

曲線を、直線ではなく放物線で近似する。

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}\left\{f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right\}$$

$1$ 区間で試そう。

$$\frac{1}{6}\left(e^0+4e^{0.5}+e^1\right)=\frac{1}{6}\left(1+6.595+2.718\right)=1.7189$$

真の値 $1.71828$ に、小数第 $3$ 位まで一致!

たった $3$ 点の計算で、この精度だ。

なぜ、こんなに精度がよいのか。

シンプソンの公式は、$3$ 次関数まで厳密に積分できる。

放物線($2$ 次)で近似しているのに、$3$ 次まで正確 — これが「$4$ 倍」という重みの妙である。

この $\frac{1}{6}(f(a)+4f(m)+f(b))$ という形、どこかで見たことはないだろうか。

$\frac{1}{6}$ 公式だ。

$${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}$$

同じ $\frac{1}{6}$ が出てくるのは、偶然ではない。 どちらも「$2$ 次関数の積分」の構造から生まれている。

数値積分は、現代のあらゆる計算を支えている。

• CGのレンダリング: 光の積分を数値的に計算
• 金融工学: オプション価格の期待値(積分)を数値計算
• 気象予測: 大気の方程式を数値積分
• 正規分布表: $e^{-x^2/2}$ の積分を数値計算した表

「積分できない関数」でも、「積分の値」は求められる。

公式で解くことと、数値で求めること。 どちらも、立派な数学である。

別解

同じ面積を、横から($y$ 軸方向に)見て計算する。

面積は、縦に切るだけが能ではない。横に切ってもいい。

まず、領域を長方形で囲む。

$x$ が $0$ から $1$、$y$ が $0$ から $e$ の長方形を考える。 面積は $1\times e=e$。

曲線 $y=e^x$ は、この長方形を $2$ つに分ける。

• 曲線の下(右下側) → 求めたい面積 $S$
• 曲線の上(左上側) → もう $1$ つの部分 $T$

そして

$$S+T=e$$

$T$ を計算してみよう。

曲線の上の部分を、横から見る。 $y$ を固定したとき、その高さでの横幅はいくらか。

$y=e^x$ を $x$ について解くと

$$x=\log y$$

$y$ の値ごとに、左端($x=0$)から曲線までの幅が $\log y$ である。

ただし、$y$ が $1$ 未満では、曲線はまだ長方形の左端にあり、幅は $0$。

だから $T$ は、$y$ が $1$ から $e$ までの積分になる。

$$T={\int }_1^e\log ydy$$

この積分は、部分積分で計算できる($f=\log y$、$g^{\prime }=1$)。

$$\int \log ydy=y\log y-y+C$$

$$T={\left[y\log y-y\right]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0+1=1$$

$T=1$ だ。

したがって

$$S=e-T=e-1$$

本解と同じ答え ✓

この計算から、うれしい副産物が得られる。

$${\int }_1^e\log xdx=1$$

$\log$ の定積分が、$1$ という整数になる。

そして、この $2$ つの積分の関係は、逆関数の一般法則だ。

$${\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_{f(0)}^{f(a)}{f}^{-1}(y)dy=af(a)-0\cdot f(0)$$

「もとの関数の面積」と「逆関数の面積」を足すと、長方形になる。

$e^x$ と $\log x$ は逆関数どうし。だから、$2$ つの面積で長方形($e$)を分け合う。

$$\underset{e^x\text{ の下}}{\underbrace{(e-1)}}+\underset{\log x\text{ の下}}{\underbrace{1}}=e$$

きれいに、つじつまが合っている。

「縦に切るか、横に切るか」

この視点の切り替えが、難しい積分を簡単にすることがある。 $\log$ や $\arcsin$ のように、逆関数のほうが積分しやすい関数では、特に有効だ。