直交する2つの円柱の共通部分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転体ではないから $V=\pi \int y^{2}dx$ は使えない。原点に戻って断面積の積分 $V=\int S(z)dz$ だ。勝負は「切る向きの設計」にある。

軸を $x$ 軸($y^2+z^2\le 1$)と $y$ 軸($x^2+z^2\le 1$)にとり、どちらの軸とも垂直な $z$ 方向で切る。$z$ を止めると、1本目の条件は $|y|\le \sqrt{1-z^2}$、2本目は $|x|\le \sqrt{1-z^2}$。$x$ と $y$ が独立に制限され、断面は正方形になる。

円柱を円柱らしく(軸方向に)切ると円が出て絡まるのに、直角に切ると正方形が現れる。この逆転が急所だ。

① 断面を求める。 円柱を $x^2+z^2\le 1$(軸は $y$ 軸)、$y^2+z^2\le 1$(軸は $x$ 軸)とする。高さ $z$($-1\le z\le 1$)の断面は

$$|x|\le \sqrt{1-z^2}\text{かつ}|y|\le \sqrt{1-z^2}$$

すなわち1辺 $2\sqrt{1-z^2}$ の正方形で、面積は

$$S(z)={\left(2\sqrt{1-z^2}\right)}^2=4(1-z^2)$$

② 積分する。

$$V={\int }_{-1}^{1}4(1-z^2)dz=4{\left[z-\frac{z^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}$$

③ 答えの吟味。 円柱2本の交わりなのに、体積 $\frac{16}{3}$ に円周率が現れない — 断面がすべて正方形だから。この立体に内接する球(半径1、体積 $\frac{4}{3}\pi$)と比べると $\frac{16}{3}>\frac{4}{3}\pi$ で、たしかに球を包んでいる。

まとめ: 非回転体の体積は「切る向きの設計」が9割。2つの条件が独立の帯になる方向を探すと、断面が初等図形(正方形)に落ちる。円柱の交差でπが消える意外性ごと、断面積分の代表例として胸に置きたい。

発展 — 一歩先へ。 この立体はシュタインメッツの立体と呼ばれ、古代中国では「牟合方蓋」の名で研究された(祖沖之父子が体積を求めている)。円柱を3本直交させた共通部分は $V=8(2-\sqrt{2})$ — これも断面の設計で高校の積分で届く。断面が初等図形になる向きを探す、という本問の設計思想はそのまま通用する。

別解

球と断面を比べる(カヴァリエリの原理で積分が消える)。 この立体には、半径1の球がぴったり内接する。高さ $z$ で両方を切ってみよう。

• 本問の立体の断面: 1辺 $2\sqrt{1-z^2}$ の正方形、面積 $4(1-z^2)$
• 内接球の断面: 半径 $\sqrt{1-z^2}$ の円、面積 $\pi (1-z^2)$

つまり、どの高さで切っても、断面は円とその外接正方形の関係にあり、面積比はつねに

$$\frac{4(1-z^2)}{\pi (1-z^2)}=\frac{4}{\pi }$$

断面積の比がすべての高さで一定なら、体積の比も同じ(カヴァリエリの原理 — 体積は断面積の積分だから)。よって

$$V=\frac{4}{\pi }\times \left(\text{球の体積}\right)=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{4\pi }{3}=\frac{16}{3}$$

積分を1本も書かずに答えへ着いた。$\pi$ が消える理由も「球の $\pi$ と比の $\pi$ が約分される」と、この見方がいちばん雄弁に語ってくれる。