数学III / 積分法の応用

対数曲線の領域の y軸回転

最難関編回転体の体積逆関数

問題

曲線 $y = lo g x$ 、 $x$ 軸、直線 $x = e$ で囲まれた部分を、 $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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$y$ 軸のまわりに回すなら、切るのも $y$ で。高さ $y$ の水平線が領域を横切る範囲は $x$ がどこからどこまでか — 曲線の式を「 $x =$ 」の形に書き替えると見えてくる。

解答・解説

方針

y軸回転は y で切る: 高さ y (0≤y≤1) の断面は、外半径 e(直線 x=e)・内半径 e^y(曲線 y=logx を x について解いた逆関数)の円環。V=π∫(外²−内²)dy に逆関数を乗せて計算する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y$ 軸まわりの回転体は、 $y$ で切るのが基本だ。高さ $y$ ( $0 \leq y \leq 1$ )の断面を考える。

外側の境界は直線 $x = e$ 、内側の境界は曲線 $y = lo g x$ 、すなわち $x = e^{y}$ (逆関数に直す)。断面は外半径 $e$ ・内半径 $e^{y}$ の円環になる。

あとは $V = π \int_{0}^{1} (e^{2} - e^{2 y}) d y$ を計算するだけ。逆関数に直す一手が、この型の入り口になる。

公式

y

軸回転の円環:

V = π \int (R (y)^{2} - r (y)^{2}) d y

。

y = lo g x ⟺ x = e^{y}

(逆関数への持ち替え)

① 断面を読む。 領域は $1 \leq x \leq e$ 、 $0 \leq y \leq lo g x$ 。高さ $y$ で切ると $x$ は $e^{y}$ から $e$ まで動くから、回転断面は

$外半径 R = e, 内半径 r = e^{y}$

の円環。

回転させる領域(色部分): y=logx、x軸、x=e で囲まれた部分。高さ y の水平線は x=e^y(曲線)から x=e(破線)まで — これが円環断面の内径と外径になる

② 積分する。

$V = π \int_{0}^{1} (e^{2} - e^{2 y}) d y = π [e^{2} y - \frac{e ^{2 y}}{2}]_{0}^{1} = π (e^{2} - \frac{e ^{2}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{π ( e ^{2} + 1 )}{2}$

③ 吟味。 外側の円柱(半径 $e$ ・高さ1)の体積は $π e^{2}$ で、そこから内側のラッパ状の部分 $π \int e^{2 y} d y = π \frac{e ^{2} - 1}{2}$ をくり抜いた、と読める — たしかに $π e^{2} - π \frac{e ^{2} - 1}{2} = \frac{π ( e ^{2} + 1 )}{2}$ で勘定が合う。

まとめ: $y$ 軸回転は「 $y$ で切る+逆関数への持ち替え」の2点セット。円柱からのくり抜きとして検算する目線まで持てば、符号や半径の取り違えも自分で捕まえられる。

発展 — 一歩先へ。 輪切り( $y$ で切る)とバウムクーヘン( $x$ で切る)が同じ答えを出すのは、平面領域を縦に走査するか横に走査するかの違い — 大学で学ぶ重積分の「積分順序の交換」の最初の実例だ。 $y$ 軸回転で逆関数が求めにくい曲線(たとえば $y = x + sin x$ )では、バウムクーヘンだけが実行可能になる。両刀を持つ価値はそこにある。

答

$\frac{π ( e ^{2} + 1 )}{2}$

別解

バウムクーヘン積分(縦に切って筒を積む)。 $y$ で切る(本解)代わりに、 $x$ で切って円筒の殻を積む方法もある。

位置 $x$ ( $1 \leq x \leq e$ )の縦の短冊(高さ $lo g x$ 、幅 $d x$ )を $y$ 軸まわりに回すと、半径 $x$ ・高さ $lo g x$ ・厚さ $d x$ の筒(バウムクーヘンの1層)になり、その体積は $2 π x \cdot lo g x d x$ 。よって

$V = 2 π \int_{1}^{e} x lo g x d x$

部分積分( $lo g x$ を微分する側に)で

$\int_{1}^{e} x lo g x d x = [\frac{x ^{2}}{2} lo g x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} d x = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{e ^{2} - 1}{4} = \frac{e ^{2} + 1}{4}$

$V = 2 π \cdot \frac{e ^{2} + 1}{4} = \frac{π ( e ^{2} + 1 )}{2}$

本解(輪切り)と一致した。輪切り(washer)は逆関数に直す一手が要り、バウムクーヘンは $y = lo g x$ のまま使える代わりに部分積分が要る — どちらの税金を払うかの選択で、両方で解いて照合すれば答えはまず動かない。

ポイント

$y$ で切る: 外半径 $e$ 、内半径 $e^{y}$ (逆関数)。
$V = π \int_{0}^{1} (e^{2} - e^{2 y}) d y = \frac{π ( e ^{2} + 1 )}{2}$ 。
円柱 $π e^{2}$ からのくり抜きとして検算できる。

よくある間違い

内外の半径を取り違える(外=直線 $x = e$ 、内=曲線 $x = e^{y}$ 。 $y$ が大きいほど円環は細い)。
$y = lo g x$ を逆関数 $x = e^{y}$ に直さず、 $y$ の積分に $lo g$ のまま持ち込む。
バウムクーヘンの公式 $2 π \int x h (x) d x$ の $2 π x$ (円周)を $π x$ とする。