回転体の体積を左右で等しく分ける(広義積分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回転体の体積は $V=\pi \int y^{2}dx=\pi \int e^{-2x}dx$。左右をそれぞれ計算して等しいとおく。

左側($0\le x\le a$)は $\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})$。右側($x\ge a$)は $x\to \infty$ までの広義積分で $\frac{\pi }{2}{e}^{-2a}$。

等しい条件 $1-e^{-2a}=e^{-2a}$、すなわち $e^{-2a}=\frac{1}{2}$。これを解けば $a$ が出る。全体の体積を半分ずつに割る $a$、というわけだ。

① 左側の体積。 $V_{\text{左}}=\pi {\int }_0^a{e}^{-2x}dx=\pi [-\frac{1}{2}{e}^{-2x}{]}_0^a=\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})$。

② 右側の体積(広義積分)。 $V_{\text{右}}=\pi {\int }_a^{\infty }{e}^{-2x}dx=\pi \underset{t\to \infty }{\lim }[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}{]}_a^t=\frac{\pi }{2}{e}^{-2a}$。 ③ 等号を解く。 $V_{\text{左}}=V_{\text{右}}$ より $$\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})=\frac{\pi }{2}{e}^{-2a}⟹1-e^{-2a}=e^{-2a}⟹e^{-2a}=\frac{1}{2}.$$ 両辺の自然対数をとって $-2a=-\log 2$、すなわち $$a=\frac{\log 2}{2}.$$

まとめ 回転体の体積は $\pi \int e^{-2x}dx$。左右をともに $e^{-2a}$ で表し、等号から $e^{-2a}=\frac{1}{2}$、$a=\frac{\log 2}{2}$。無限に伸びる図形でも広義積分が収束するので体積を二等分できる。回転体・広義積分・方程式の融合。

発展 — 一歩先へ。 体積を2等分する $a=\frac{\log 2}{2}$ と、面積を2等分する $a=\log 2$ は違う(面積は $\int e^{-x}$、体積は $\int e^{-2x}$ で減衰が2倍速い)。回転させると $y$ が2乗で効くため、体積は左に偏り、等分点が手前に来る。「同じ図形でも、面積・体積・重心で“真ん中”は別の場所」という好例だ。

別解

別解 — 「全体の半分」と一言で片づける(得意な人向けの視点)。 左右の体積を別々に計算する前に、全体の体積を見る。曲線 $y=e^{-x}$($x\ge 0$)を $x$ 軸で回した立体の総体積は

$$V_{\text{全}}=\pi {\int }_0^{\infty }{e}^{-2x}dx=\pi {\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2x}\right]}_0^{\infty }=\frac{\pi }{2}.$$

「左右が等しい」とは「左が全体のちょうど半分 $\frac{\pi }{4}$」ということ。左側の体積は

$$\pi {\int }_0^a{e}^{-2x}dx=\frac{\pi }{2}(1-e^{-2a})=\frac{\pi }{4}⟹1-e^{-2a}=\frac{1}{2}⟹e^{-2a}=\frac{1}{2}.$$

$-2a=\log \frac{1}{2}=-\log 2$ より $a=\frac{\log 2}{2}$。

右側の広義積分をわざわざ計算しなくても(本解)、「全体の半分」と読み替えると左側1本で決まる。$e^{-2x}$ の半減が $2x=\log 2$ で起きる、という感覚とも合う。