面積(1/(1+x²) と x 軸)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=\frac{1}{1+x^2}$ は正なので、囲む面積はそのまま定積分 ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$。

問題は、この積分をどう計算するか。$1+x^2$ を見たら $x=\tan \theta$ とおく、という置換の型がある。

置くと分母が $\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ にまとまり、角度 $\arctan$ の積分に化ける。

「$1+x^2$ を見たら $\tan$ 置換」という前の単元の型を、面積計算でそのまま使う。

$\frac{1}{1+x^2}>0$ なので面積は定積分。$x=\tan \theta$ とおくと、$1+x^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$、$dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta$ で被積分関数が $1$ になる。区間は $x=0\to \theta =0$、$x=1\to \theta =\frac{\pi }{4}$。

$$\text{面積}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}1d\theta =\frac{\pi }{4}$$

まとめ:$\frac{1}{1+x^2}$ と $x$ 軸が $[0,1]$ で囲む面積は $\frac{\pi }{4}$。$x=\tan \theta$ の置換で被積分関数が $1$ になり、区間が $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ に変わる。曲線の下の面積に $\pi$ が現れる有名例だ。

発展 — 一歩先へ。 右端を $1$ から動かすと、${\int }_0^a\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan a$。$a$ を大きくしていくと $\arctan a$ は $\frac{\pi }{2}$ に近づく。

つまり $y=\frac{1}{1+x^2}$ の下の面積は、$x$ を $0$ から無限に伸ばしても $\frac{\pi }{2}$ で止まる。左右あわせた全体では、曲線と $x$ 軸のあいだの面積がちょうど $\pi$ になる。

この釣鐘形の曲線は、統計ではコーシー分布(物理ではローレンツ分布)として知られる。$\frac{1}{\pi }\cdot \frac{1}{1+x^2}$ とすれば全体の面積が $1$ になり、確率の密度に使える。$\arctan$ が「積み上がった面積 $=$ 角度」を測っている、という見方が背景にある。

別解

別解 — 級数に開いて足す(得意な人向けの視点)。 $\frac{1}{1+x^2}$ を等比級数とみて展開し、項ごとに積分すると、有名な交代級数が現れる。

$|x|<1$ で $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$(公比 $-x^2$ の等比級数)。これを $0$ から $1$ まで項ごとに積分する。

$${\int }_0^1(1-x^2+x^4-x^6+\cdots )dx=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots .$$

右辺はライプニッツの級数で、$\frac{\pi }{4}$ に収束する(交代級数なので端 $x=1$ でも和が定まる)。$x=\tan \theta$ で置換する本解と同じ $\frac{\pi }{4}$。曲線の下の面積が、奇数の逆数の交代和という素朴な足し算に姿を変える。